Question

【題目】在如圖所示的五面體中， ， ， ，四邊形為正方形，平面平面．

（1）證明：在線段上存在一點(diǎn)，使得平面；

（2）求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)2.

【解析】試題分析：（1）取的中點(diǎn)，連接，由正方形的性質(zhì)可證明四邊形為平行四邊形，故，由線面平行的判定定理可得平面，點(diǎn)就是符合條件的點(diǎn)；（2）由平面平面及可得平面，可得，在中，由余弦定理，得，由（1）得，根據(jù)勾股定理可得．

試題解析：（1）取的中點(diǎn)，連接；

因?yàn)?/span>， ，

，所以，又四邊形是正方形，所以， ，

故四邊形為平行四邊形，故，

因?yàn)?/span>平面， 平面，

所以平面．

（2）因?yàn)槠矫?/span>平面，四邊形為正方形，所以，

所以平面．

在中，因?yàn)?/span>，故，又，

所以由余弦定理，得，由（1）得

故．

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線面平行的判定定理、面面垂直的性質(zhì)定理，屬于難題. 證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個(gè)定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面. 本題（1）是就是利用方法①證明的.