【題目】已知函數(shù)(自然對(duì)數(shù)的底數(shù))有兩個(gè)零點(diǎn).
(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若的兩個(gè)零點(diǎn)分別為,證明:.
【答案】(1).(2)證明見(jiàn)解析
【解析】
(1)將有兩個(gè)零點(diǎn)問(wèn)題,轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)零點(diǎn),利用研究的單調(diào)性和零點(diǎn),由此求得的取值范圍.
(2)將所要證明的不等式轉(zhuǎn)化為證明,構(gòu)造函數(shù),利用證得,由此證得不等式成立.
(1)有兩個(gè)零點(diǎn),等價(jià)于有兩個(gè)零點(diǎn),令,則在時(shí)恒成立,所以在時(shí)單調(diào)遞增,
所以有兩個(gè)零點(diǎn),等價(jià)于有兩個(gè)零點(diǎn).
因?yàn)?/span>所以
①當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,不可能有兩個(gè)零點(diǎn);
②當(dāng)時(shí),令,得,單調(diào)遞增;令,得,單調(diào)遞減.
所以.
若,得,此時(shí)恒成立,沒(méi)有零點(diǎn);
若,得,此時(shí)有一個(gè)零點(diǎn);
若,得,因?yàn)?/span>,且,,所以在,上各存在一個(gè)零點(diǎn),符合題意.
綜上,當(dāng)時(shí),函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),
即若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍為.
(2)要證,只需證,即證,
由(1)知,,所以只需證.
因?yàn)?/span>,,所以,,
所以,只需證.
設(shè),令,則,所以只需證,即證.
令,,則,.
即當(dāng)時(shí),成立.
所以,即,
即.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在極坐標(biāo)系中,方程C:表示的曲線被稱作“四葉玫瑰線”(如圖)
(1)求以極點(diǎn)為圓心的單位圓與四葉玫瑰線交點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo);
(2)直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)與極點(diǎn)重合,x軸正半軸與極軸重合.求直線l:上的點(diǎn)M與四葉攻瑰線上的點(diǎn)N的距離的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓:的離心率為,焦距為.
(1)求的方程;
(2)若斜率為的直線與橢圓交于,兩點(diǎn)(點(diǎn),均在第一象限),為坐標(biāo)原點(diǎn).
①證明:直線的斜率依次成等比數(shù)列.
②若與關(guān)于軸對(duì)稱,證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2019年7月1日迎來(lái)了我國(guó)建黨98周年,6名老黨員在這天相約來(lái)到革命圣地之一的西柏坡.6名老黨員中有3名黨員當(dāng)年在同一個(gè)班,他們站成一排拍照留念時(shí),要求同班的3名黨員站在一起,且滿足條件的每種排法都要拍一張照片,若將照片洗出來(lái),每張照片0.5元(不含過(guò)塑費(fèi)),且有一半的照片需要過(guò)塑,每張過(guò)塑費(fèi)為0.75元.若將這些照片平均分給每名老黨員(過(guò)塑的照片也要平均分),則每名老黨員需要支付的照片費(fèi)為( )
A.20.5B.21元C.21.5元D.22元
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為徹底打贏脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn),2020年春,某市政府投入資金幫扶某農(nóng)戶種植蔬菜大棚脫貧致富,若該農(nóng)戶計(jì)劃種植冬瓜和茄子,總面積不超過(guò)15畝,幫扶資金不超過(guò)4萬(wàn)元,冬瓜每畝產(chǎn)量10 000斤,成本2000元,每斤售價(jià)0.5元,茄子每畝產(chǎn)量5000斤,成本3000元,每斤售價(jià)1.4元,則該農(nóng)戶種植冬瓜和茄子利潤(rùn)的最大值為( )
A.4萬(wàn)元B.5.5萬(wàn)元C.6.5萬(wàn)元D.10萬(wàn)元
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某度假酒店為了解會(huì)員對(duì)酒店的滿意度,從中抽取50名會(huì)員進(jìn)行調(diào)查,把會(huì)員對(duì)酒店的“住宿滿意度”與“餐飲滿意度”都分為五個(gè)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn):1分(很不滿意);2分(不滿意);3分(一般);4分(滿意);5分(很滿意).其統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表(住宿滿意度為,餐飲滿意度為)
(1)求“住宿滿意度”分?jǐn)?shù)的平均數(shù);
(2)求“住宿滿意度”為3分時(shí)的5個(gè)“餐飲滿意度”人數(shù)的方差;
(3)為提高對(duì)酒店的滿意度,現(xiàn)從且的會(huì)員中隨機(jī)抽取2人征求意見(jiàn),求至少有1人的“住宿滿意度”為2的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一場(chǎng)突如其來(lái)的新冠肺炎疫情在全國(guó)蔓延,在黨中央的堅(jiān)強(qiáng)領(lǐng)導(dǎo)和統(tǒng)一指揮下,全國(guó)人民眾志成城、團(tuán)結(jié)一心,共抗疫情。每天測(cè)量體溫也就成為了所有人的一項(xiàng)責(zé)任,一般認(rèn)為成年人腋下溫度(單位:℃)平均在36℃~37℃之間即為正常體溫,超過(guò)37.1℃即為發(fā)熱。發(fā)熱狀態(tài)下,不同體溫可分成以下三種發(fā)熱類型:低熱:;高熱:;超高熱(有生命危險(xiǎn)):.
某位患者因發(fā)熱,雖排除肺炎,但也于12日至26日住院治療. 醫(yī)生根據(jù)病情變化,從14日開(kāi)始,以3天為一個(gè)療程,分別用三種不同的抗生素為該患者進(jìn)行消炎退熱. 住院期間,患者每天上午8:00服藥,護(hù)士每天下午16:00為患者測(cè)量腋下體溫記錄如下:
抗生素使用情況 | 沒(méi)有使用 | 使用“抗生素A”治療 | 使用“抗生素B”治療 | |||||
日期 | 12日 | 13日 | 14日 | 15日 | 16日 | 17日 | 18日 | 19日 |
體溫(℃) | 38.7 | 39.4 | 39.7 | 40.1 | 39.9 | 39.2 | 38.9 | 39.0 |
抗生素使用情況 | 使用“抗生素C”治療 | 沒(méi)有使用 | |||||
日期 | 20日 | 21日 | 22日 | 23日 | 24日 | 25日 | 26日 |
體溫(℃) | 38.4 | 38.0 | 37.6 | 37.1 | 36.8 | 36.6 | 36.3 |
(1)請(qǐng)你計(jì)算住院期間該患者體溫不低于39℃的各天體溫平均值;
(2)在18日—22日期間,醫(yī)生會(huì)隨機(jī)選取3天在測(cè)量體溫的同時(shí)為該患者進(jìn)行某一特殊項(xiàng)目“項(xiàng)目”的檢查,求至少兩天在高熱體溫下做“項(xiàng)目”檢查的概率;
(3)抗生素治療一般在服藥后2-8個(gè)小時(shí)就能出現(xiàn)血液濃度的高峰,開(kāi)始?xì)缂?xì)菌,達(dá)到消炎退熱效果.假設(shè)三種抗生素治療效果相互獨(dú)立,請(qǐng)依據(jù)表中數(shù)據(jù),判斷哪種抗生素治療效果最佳,并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知正四面體P-ABC的棱長(zhǎng)均為a,O為正四面體P-ABC的外接球的球心,過(guò)點(diǎn)O作平行于底面ABC的平面截正四面體P-ABC,得到三棱錐P-A1B1C1和三棱臺(tái)ABC-A1B1C1,那么三棱錐P-A1B1C1的外接球的表面積為________.
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