Question

某大學(xué)志愿者協(xié)會有6名男同學(xué)，4名女同學(xué)，在這10名同學(xué)中，3名同學(xué)來自數(shù)學(xué)學(xué)院，其余7名同學(xué)來自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個(gè)學(xué)院，現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué)，到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動（每位同學(xué)被選到的可能性相同）．
（Ⅰ）求選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率；
（Ⅱ）設(shè)X為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：古典概型及其概率計(jì)算公式,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）利用排列組合求出所有基本事件個(gè)數(shù)及選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的基本事件個(gè)數(shù)，代入古典概型概率公式求出值；
（Ⅱ）隨機(jī)變量X的所有可能值為0，1，2，3，P(X=k)=

C k 4 C 3-k 6

C 3 10

（k=0，1，2，3）列出隨機(jī)變量X的分布列求出期望值．

解答： （Ⅰ）解：設(shè)“選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院”為事件A，
則P(A)=

C 1 3 C 2 7 + C 0 3 C 3 7

C 3 10

=

49

60

，
所以選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率為

49

60

．
（Ⅱ）解：隨機(jī)變量X的所有可能值為0，1，2，3，P(X=k)=

C k 4 C 3-k 6

C 3 10

（k=0，1，2，3）
所以隨機(jī)變量X的分布列是

X	0	1	2	3
P	1 6	1 2	3 10	1 30

隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0×

1

6

+1×

1

2

+2×

3

10

+3×

1

30

=

6

5

．

點(diǎn)評：本題考查古典概型及其概率公式，互斥事件，離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，考查應(yīng)用概率解決實(shí)際問題的能力．