Question

7．已知函數(shù)f（x）=x+lnx，若k∈Z，且k＜$\frac{f（x）}{x-1}$對(duì)x＞1恒成立，求k_max．

Answer 1

分析 k＜$\frac{f（x）}{x-1}$對(duì)x＞1恒成立，即求$\frac{f（x）}{x-1}$的最小值，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性得知遞減，無(wú)最小值，利用極限思想知其極限值為1

解答 解：$\frac{f（x）}{x-1}$=$\frac{x+lnx}{x-1}$
令h（x）=$\frac{x+lnx}{x-1}$
∴h′（x）=$\frac{-\frac{1}{x}-lnx}{（x-1）^{2}}$＜0，x∈（1，+∞）
∴h（x）在x＞1時(shí)遞減，無(wú)最小值
h（x）=$\frac{x+lnx}{x-1}$=$\frac{x-1+lnx+1}{x-1}$=1+$\frac{lnx+1}{x-1}$＞1
k_max=1

點(diǎn)評(píng) 考察恒成立問(wèn)題和導(dǎo)數(shù)應(yīng)用，用到極限思想．