Question

14．已知拋物線f（x）=x²+px+q上有一點(diǎn)M（x₀，f（x₀））位于x軸的下方．
（1）求證：f（x）必與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)A（x₁，0），B（x₂，0），且x₁＜x₀＜x₂（x₁＜x₂）；
（2）若點(diǎn)M為（1，-2）時(shí)，求整數(shù)x₁，x₂．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)f（x）=x²+px+q=${（x+\frac{p}{2}）}^{2}$+q-$\frac{{p}^{2}}{4}$ 上有一點(diǎn)M（x₀，f（x₀））位于x軸的下方，可得y₀=${{（x}_{0}+\frac{p}{2}）}^{2}$+q-$\frac{{p}^{2}}{4}$＜0，求得△＞0，即可證得結(jié)論．
（2）利用韋達(dá)定理可得x₁ +x₂ =-p，x₁•x₂ =q，f（x）=x²-（x₁ +x₂）x+x₁•x₂ ．再把點(diǎn)M為（1，-2）代入可得即（x₁ -1）（x₂ -1）=-2，再根據(jù)整數(shù)x₁，
x₂ 滿足x₁＜x₂ ，求得整數(shù)x₁，x₂的值．

解答 （1）證明：函數(shù)f（x）=x²+px+q=${（x+\frac{p}{2}）}^{2}$+q-$\frac{{p}^{2}}{4}$．
∵拋物線f（x）=x²+px+q上有一點(diǎn)M（x₀，f（x₀））位于x軸的下方，
故有y₀=${{（x}_{0}+\frac{p}{2}）}^{2}$+q-$\frac{{p}^{2}}{4}$＜0，∴p²＞4q，∴△=p²-4q＞0，
∴f（x）的圖象必與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)A（x₁，0），B（x₂，0），x₁＜x₂ ，
設(shè)拋物線f（x）=（x-x₁）（x-x₂），將x₀代入可得f（x₀）=（x₀-x₁）（x₀-x₂）＜0，
∴x₁＜x₀＜x₂ ．
（2）解：根據(jù)拋物線f（x）=x²+px+q，再利用韋達(dá)定理可得x₁ +x₂ =-p，x₁•x₂ =q，
故f（x）=x²-（x₁ +x₂）x+x₁•x₂ ．
再把點(diǎn)M為（1，-2）代入可得，1-（x₁ +x₂）x+x₁•x₂ =-2，
即（x₁ -1）（x₂ -1）=-2，再根據(jù)整數(shù)x₁，x₂ 滿足x₁＜x₂ ，
可得x₁ -1=-1、x₂ -1=2，或x₁ -1=-2、x₂ -1=1．
求得x₁ =0、x₂ =3； 或x₁ =-1、x₂ =2．

點(diǎn)評 本題主要考查一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．