Question

關(guān)于x的方程（x²-4）²-4|x²-4|+k=0，給出下列四個(gè)命題：
①存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根；
②存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根；
③存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有5個(gè)不同的實(shí)根；
④存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有6個(gè)不同的實(shí)根；
⑤存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有8個(gè)不同的實(shí)根．
其中真命題的序號(hào)是

①②③⑤

（寫出所有真命題的序號(hào)）．

Answer 1

分析：將方程的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)圖象的問(wèn)題，畫(huà)出可得．

解答：解：令y=（x²-4）²-4|x²-4|，y=-k
當(dāng)x≤-2，或x≥2時(shí)，y=（x²-4）²-4（x²-4）
當(dāng)-2＜x＜2時(shí)，y=（x²-4）²+4（x²-4）
故y=

(x2-4)2-4(x2-4)       x≤-2，或x≥2 (x2-4)+4(x2-4)         -2＜x＜2

作出兩函數(shù)的圖象，觀察k的值與交點(diǎn)的情況得方程解的個(gè)數(shù)．
當(dāng)-k＞0，即k＜0時(shí)，直線y=-k與函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即原方程有兩解．故命題①成立．
當(dāng)-k=0，即k=0時(shí)，直線與函數(shù)圖象有五個(gè)交點(diǎn)，即原方程有五解．故命題③成立．
當(dāng)-4＜k＜0，即0＜k＜4時(shí)，直線與函數(shù)圖象有八個(gè)交點(diǎn)，即原方程有八解．故命題⑤成立．
當(dāng)-k=-4，即k=4時(shí)，直線與函數(shù)圖象有四個(gè)交點(diǎn)，即原方程有四解．故命題②成立．
當(dāng)-k＜-4，即k＞4時(shí)，直線與函數(shù)圖象沒(méi)有交點(diǎn)．
故正確的是①②③⑤

點(diǎn)評(píng)：本題考查了分段函數(shù)，以及函數(shù)與方程的思想，數(shù)形結(jié)合的思想．