Question

過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F作直線l，交拋物線于A、B兩點，交其準線于C點，若

CB

=3

BF

，則直線l的斜率為

±2

2

．

Answer 1

分析：拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F（

p

2

，0），準線方程：x=-

p

2

，由過焦點F作直線l，交拋物線于A、B兩點，交其準線于C點，
知C點橫坐標為x_c=-

p

2

．設直線l方程y=k（x-

p

2

）．由

CB

=3

BF

，知B為

CF

四等分點．設B（a，b），則B（

p

4

，±

2 p

2

），代入直線方程，能求出直線l的斜率．

解答：解：∵拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F（

p

2

，0），準線方程：x=-

p

2

，
過焦點F作直線l，交拋物線于A、B兩點，交其準線于C點，
∴C點橫坐標為x_c=-

p

2

．
由于直線l過F（

p

2

，0），故設方程y=k（x-

p

2

）．
∵

CB

=3

BF

，
∴B為

CF

四等分點，
設B（a，b），則a=

p

4

，b=±

2 p

2

．
所以B（

p

4

，±

2 p

2

），代入直線方程，
得-

p

4

k=±

2

2

p，，
解得k=±2

2

．
故答案為：±2

2

．

點評：本題考查直線和拋物線的位置關系，是基礎題，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．