請考生在(1)(2)中任選一題作答,每小題12分.如都做,按所做的第(1)題計分.
(1)如圖,在△ABC中,AB=AC,∠C=72°,⊙O過A、B兩點且與BC相切于點B,與AC交于點D,連接B、D,若BC=
5
-1
,求AC的長.
(2)已知雙曲線C:x2-y2=2,以雙曲線的左焦點F為極點,射線FO(O為坐標(biāo)原點)為極軸,點M為雙曲線上任意一點,其極坐標(biāo)是(ρ,θ),試根據(jù)雙曲線的定義求出ρ與θ的關(guān)系式(將ρ用θ表示).
分析:(1)由條件可得BC=BD=DA=
5
-1
,由切割線定理知BC2=CD•CA,解方程求得AC的長.
(2)由雙曲線的方程知:a=
2
,b=
2
.c=2,e=
2
,
b2
c
=1
,分M在雙曲線的左支上和M在雙曲線的右支上兩種情況,利用雙曲線的定義求得ρ與θ的關(guān)系式.
解答:解:(1)如圖,由∠C=72°,AB=AC知,∠ABC=72°,∠BAC=36°.
由弦切角定理知∠DBC=36°,…(4分)
又∠C=72°得∠BDC=72°,∴∠ABD=72°-360=360,故BC=BD=DA=
5
-1
,…(8分)
由切割線定理知BC2=CD•CA,即(
5
-1)2=[CA-(
5
-1)]•CA
,
解得:AC=2或AC=
5
-3
(舍),所以AC的長為2.…(12分)
(2)由雙曲線的方程知:a=
2
,b=
2
.c=2,e=
2
,
b2
c
=1
,結(jié)合圖形,
當(dāng)M在雙曲線的左支上時,
由雙曲線的定義得
ρ
b2
c
-ρcosθ
=e
,即
ρ
1-ρcosθ
=
2
,所以ρ=
2
1+
2
cosθ
.(6分)
當(dāng)M在雙曲線的右支上時,
由雙曲線的定義得
ρ
ρcosθ-
b2
c
=e
,即
ρ
ρcosθ-1
=
2
,所以ρ=
2
2
cosθ-1
.(12)分
點評:本題主要考查與圓相關(guān)的比例線段,把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法,雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

選做題(請考生在以下三個小題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題評閱記分)
A.(選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程)若M,N分別是曲線ρ=2cosθ和ρsin(θ-
π
4
)=
2
2
上的動點,則M,N兩點間的距離的最小值是
2
-1
2
-1

B.(選修4-5 不等式選講)若不等式|x+
1
x
|>|a-2|+1
對于一切非零實數(shù)x均成立,則實數(shù)a的取值范圍為
1<a<3
1<a<3

C.(選修4-1 幾何證明選講)(幾何證明選做題)如圖,圓O的割線PBA過圓心O,弦CD交AB于點E,且△COE~△PDE,PB=OA=2,則PE的長等于
3
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年本溪市高二下學(xué)期期末考試(理科)數(shù)學(xué)卷 題型:填空題

注意:請考生在(1)、(2)、(3)三題中任選一題做答,如果多做,則按所做的第一題計分

(1)如圖,AC為⊙O的直徑,弦BD⊥AC于點P,PC=2,PA=8,

的值為       _____.

                   

(2)在極坐標(biāo)系中,圓的圓心的極坐標(biāo)是      _____.

(3)不等式的解集為       _____.

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

請考生在(1)(2)中任選一題作答,每小題12分.如都做,按所做的第(1)題計分.
(1)如圖,在△ABC中,AB=AC,∠C=72°,⊙O過A、B兩點且與BC相切于點B,與AC交于點D,連接B、D,若BC=數(shù)學(xué)公式,求AC的長.
(2)已知雙曲線C:x2-y2=2,以雙曲線的左焦點F為極點,射線FO(O為坐標(biāo)原點)為極軸,點M為雙曲線上任意一點,其極坐標(biāo)是(ρ,θ),試根據(jù)雙曲線的定義求出ρ與θ的關(guān)系式(將ρ用θ表示).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年湖北省荊州中學(xué)高三第二次質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

請考生在(1)(2)中任選一題作答,每小題12分.如都做,按所做的第(1)題計分.
(1)如圖,在△ABC中,AB=AC,∠C=72°,⊙O過A、B兩點且與BC相切于點B,與AC交于點D,連接B、D,若BC=,求AC的長.
(2)已知雙曲線C:x2-y2=2,以雙曲線的左焦點F為極點,射線FO(O為坐標(biāo)原點)為極軸,點M為雙曲線上任意一點,其極坐標(biāo)是(ρ,θ),試根據(jù)雙曲線的定義求出ρ與θ的關(guān)系式(將ρ用θ表示).

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