Question

請(qǐng)考生在（1）（2）中任選一題作答，每小題12分．如都做，按所做的第（1）題計(jì)分．
（1）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠C=72°，⊙O過(guò)A、B兩點(diǎn)且與BC相切于點(diǎn)B，與AC交于點(diǎn)D，連接B、D，若BC=

5

-1，求AC的長(zhǎng)．
（2）已知雙曲線C：x²-y²=2，以雙曲線的左焦點(diǎn)F為極點(diǎn)，射線FO（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）為極軸，點(diǎn)M為雙曲線上任意一點(diǎn)，其極坐標(biāo)是（ρ，θ），試根據(jù)雙曲線的定義求出ρ與θ的關(guān)系式（將ρ用θ表示）．

Answer 1

分析：（1）由條件可得BC=BD=DA=

5

-1，由切割線定理知BC²=CD•CA，解方程求得AC的長(zhǎng)．
（2）由雙曲線的方程知：a=

2

，b=

2

．c=2，e=

2

，

b2

c

=1，分M在雙曲線的左支上和M在雙曲線的右支上兩種情況，利用雙曲線的定義求得ρ與θ的關(guān)系式．

解答：解：（1）如圖，由∠C=72°，AB=AC知，∠ABC=72°，∠BAC=36°．
由弦切角定理知∠DBC=36°，…（4分）
又∠C=72°得∠BDC=72°，∴∠ABD=72°-36⁰=36⁰，故BC=BD=DA=

5

-1，…（8分）
由切割線定理知BC²=CD•CA，即(

5

-1)2=[CA-(

5

-1)]•CA，
解得：AC=2或AC=

5

-3（舍），所以AC的長(zhǎng)為2．…（12分）
（2）由雙曲線的方程知：a=

2

，b=

2

．c=2，e=

2

，

b2

c

=1，結(jié)合圖形，
當(dāng)M在雙曲線的左支上時(shí)，
由雙曲線的定義得

ρ

b2 c -ρcosθ

=e，即

ρ

1-ρcosθ

=

2

，所以ρ=

2

1+ 2 cosθ

．（6分）
當(dāng)M在雙曲線的右支上時(shí)，
由雙曲線的定義得

ρ

ρcosθ- b2 c

=e，即

ρ

ρcosθ-1

=

2

，所以ρ=

2

2 cosθ-1

．（12）分

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查與圓相關(guān)的比例線段，把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．