Question

（2013•浙江）如圖，在四面體A-BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2

2

．M是AD的中點，P是BM的中點，點Q在線段AC上，且AQ=3QC．
（1）證明：PQ∥平面BCD；
（2）若二面角C-BM-D的大小為60°，求∠BDC的大�。�

Answer 1

分析：（1）取BD的中點O，在線段CD上取點F，使得DF=3CF，連接OP、OF、FQ．根據(jù)平行線分線段成比例定理結合三角形的中位線定理證出四邊形OPQF是平行四邊形，從而PQ∥OF，再由線面平行判定定理，證出PQ∥平面BCD；
（2）過點C作CG⊥BD，垂足為G，過G作GH⊥BM于H，連接CH．根據(jù)線面垂直的判定與性質證出BM⊥CH，因此∠CHG是二面角C-BM-D的平面角，可得∠CHG=60°．設∠BDC=θ，用解直角三角形的方法算出HG和CG關于θ的表達式，最后在Rt△CHG中，根據(jù)正切的定義得出tan∠CHG=

CG

GH

=

3

，從而得到tanθ=

3

，由此可得∠BDC．

解答：（1）取BD的中點O，在線段CD上取點F，使得DF=3CF，連接OP、OF、FQ
∵△ACD中，AQ=3QC且DF=3CF，∴QF∥AD且QF=

1

4

AD
∵△BDM中，O、P分別為BD、BM的中點
∴OP∥DM，且OP=

1

2

DM，結合M為AD中點得：OP∥AD且OP=

1

4

AD
∴OP∥QF且OP=QF，可得四邊形OPQF是平行四邊形
∴PQ∥OF
∵PQ?平面BCD且OF?平面BCD，∴PQ∥平面BCD；
（2）過點C作CG⊥BD，垂足為G，過G作GH⊥BM于H，連接CH
∵AD⊥平面BCD，CG?平面BCD，∴AD⊥CG
又∵CG⊥BD，AD、BD是平面ABD內的相交直線
∴CG⊥平面ABD，結合BM?平面ABD，得CG⊥BM
∵GH⊥BM，CG、GH是平面CGH內的相交直線
∴BM⊥平面CGH，可得BM⊥CH
因此，∠CHG是二面角C-BM-D的平面角，可得∠CHG=60°
設∠BDC=θ，可得
Rt△BCD中，CD=BDcosθ=2

2

cosθ，CG=CDsinθ=2

2

sinθcosθ，BG=BCsinθ=2

2

sin²θ
Rt△BMD中，HG=

BG•DM

BM

=

2 2

3

sin2θ；Rt△CHG中，tan∠CHG=

CG

GH

=

3cosθ

sinθ

=

3

∴tanθ=

3

，可得θ=60°，即∠BDC=60°

點評：本題在底面為直角三角形且過銳角頂點的側棱與底面垂直的三棱錐中求證線面平行，并且在已知二面角大小的情況下求線線角．著重考查了線面平行、線面垂直的判定與性質，解直角三角形和平面與平面所成角求法等知識，屬于中檔題．