Question

（2013•浙江）如圖F₁、F₂是橢圓C₁：

x2

4

+y²=1與雙曲線C2的公共焦點A、B分別是C₁、C₂在第二、四象限的公共點，若四邊形AF₁BF₂為矩形，則C₂的離心率是（　�。�

• A．

  2

• B．

  3

• C．

  3

  2

• D．

  6

  2

Answer 1

分析：不妨設|AF₁|=x，|AF₂|=y，依題意

x+y=4 x2+y2=12

，解此方程組可求得x，y的值，利用雙曲線的定義及性質即可求得C₂的離心率．

解答：解：設|AF₁|=x，|AF₂|=y，∵點A為橢圓C₁：

x2

4

+y²=1上的點，
∴2a=4，b=1，c=

3

；
∴|AF₁|+|AF₂|=2a=4，即x+y=4；①
又四邊形AF₁BF₂為矩形，
∴|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2，即x²+y²=（2c）²=(2

3

)2=12，②
由①②得：

x+y=4 x2+y2=12

，解得x=2-

2

，y=2+

2

，設雙曲線C₂的實軸長為2a，焦距為2c，
則2a=|AF₂|-|AF₁|=y-x=2

2

，2c=2

22-12

=2

3

，
∴雙曲線C₂的離心率e=

c

a

=

3

2

=

6

2

．
故選D．

點評：本題考查橢圓與雙曲線的簡單性質，求得|AF₁|與|AF₂|是關鍵，考查分析與運算能力，屬于中檔題．