Question

已知點(diǎn)P（2，2），圓C：x²+y²-8y=0，過點(diǎn)P的動(dòng)直線l與圓C交于A、B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）求M的軌跡方程；
（Ⅱ）當(dāng)|OP|=|OM|時(shí)，求l的方程及△POM的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系,軌跡方程

專題：直線與圓

分析：（I）圓C的方程可化為x²+（y-4）²=16，由此能求出圓心為C（0，4），半徑為4，設(shè)M（x，y），則

CM

=(x，y-4)，

MP

=(2-x，2-y)，由題設(shè)知

CM

•

MP

=0，由此能求出M的軌跡方程．
（II）由（Ⅰ）知M的軌跡是以點(diǎn)N（1，3）為圓心，

2

為半徑的圓．由于|OP|=|OM|，故O在線段PM的垂直平分線上，由此利用點(diǎn)到直線距離公式結(jié)合已知條件能求出△POM的面積．

解答： 解：（I）圓C的方程可化為x²+（y-4）²=16，
所以圓心為C（0，4），半徑為4，
設(shè)M（x，y），則

CM

=(x，y-4)，

MP

=(2-x，2-y)，
由題設(shè)知

CM

•

MP

=0，
故x（2-x）+（y-4）（2-y）=0，
即（x-1）²+（y-3）²=2．
由于點(diǎn)P在圓C的內(nèi)部，
所以M的軌跡方程是（x-1）²+（y-3）²=2．…（6分）
（II）由（1）可知M的軌跡是以點(diǎn)N（1，3）為圓心，

2

為半徑的圓．
由于|OP|=|OM|，故O在線段PM的垂直平分線上，
又P在圓N上，從而ON⊥PM．
因?yàn)镺N的斜率為3，
所以l的斜率為-

1

3

，
故l的方程為y=-

1

3

x+

8

3

．
又|OP|=|OM|=2

2

，O到l的距離為

4 10

5

，|PM|=

4 10

5

，
所以△POM的面積為

16

5

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查直線方程的求法，考查三角形面積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．