Question

已知函數(shù)f（x）=|2^x-1|．
（1）敘述y=2^x的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到函數(shù)f（x）=|2^x-1|的圖象？
（2）畫出函數(shù)f（x）=|2^x-1|的圖象；
（3）利用圖象回答下列問題：
①指出單調(diào)區(qū)間，以及在每一個(gè)單調(diào)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)（不要求證明）；
②討論方程|2^x-1|=k的根的情況（只需寫出結(jié)果，不要解答過程）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換法則，可先將y=2^x的圖象向下平移一個(gè)單位得到y(tǒng)=2^x-1的圖象，再根據(jù)函數(shù)圖象的對折變換法則得到答案．
（2）結(jié)合（1）中圖象變換方式，結(jié)合指數(shù)函數(shù)y=2^x的圖象和性質(zhì)，可得f（x）=|2^x-1|的圖象；
（3）根據(jù)（2）中所得函數(shù)的圖象，
①結(jié)合從左到右圖象上升函數(shù)為增函數(shù)，圖象下降函數(shù)為減函數(shù)，可判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
②分析函數(shù)圖象與直線y=k交點(diǎn)個(gè)數(shù)，可判斷不同情況下方程|2^x-1|=k的根的情況．

解答：解：（1）將y=2^x的圖象向下平移一個(gè)單位得到y(tǒng)=2^x-1的圖象，
再將y=2^x-1在x軸下方的圖象沿著x軸翻折到x軸上方得到f（x）=|2^x-1|的圖象…（4分）
（2）函數(shù)f（x）=|2^x-1|的圖象，如下圖所示：
…（7分）
（3）單增區(qū)間（0，+∞）；單減區(qū)間（-∞，0）；
當(dāng)k＜0時(shí)，方程無解；
當(dāng)k＞1或k=0時(shí)，方程一解；
當(dāng)0＜k＜1時(shí)，方程兩解．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)圖象的作法，函數(shù)圖象的平移變換及對折變換，函數(shù)單調(diào)性，函數(shù)的零點(diǎn)，熟練掌握指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)及函數(shù)圖象的變換法則，是解答的關(guān)鍵．