Question

在△PAB中，已知、，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|=|PB|+4．
（I）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（II）設(shè)M（-2，0），N（2，0），過(guò)點(diǎn)N作直線l垂直于AB，且l與直線MP交于點(diǎn)Q，，試在x軸上確定一點(diǎn)T，使得PN⊥QT；
（III）在（II）的條件下，設(shè)點(diǎn)Q關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為R，求的值．

Answer 1

解：（I）∵|PA|-|PB|=4＜|AB|，∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支除去其與x軸的交點(diǎn)．
設(shè)雙曲線方程為．
由已知，得解得
∴．
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為．
（5）由題意，直線MP（6）的斜率存在且不為0，設(shè)直線l的方程x=2．
設(shè)MP的方程為y=k（x+2）．
∵點(diǎn)Q是l與直線MP的交點(diǎn)，∴Q（2，4k）．設(shè)P（x₀，y₀）
由整理得（1-2k²）x²-8k²x-（8k²+4）=0．
則此方程必有兩個(gè)不等實(shí)根x₁=-2，x₂=x₀＞2∴1-2k²≠0．，且．
∴．∴．
設(shè)T（t，0），要使得PN⊥QT，只需
由N（2，0），，
∴
∵k≠0，∴t=4．此時(shí)
∴所求T的坐標(biāo)為（4，0）．
（III）由（II）知R（2，-4k），∴=，．
∴．
∴．
說(shuō)明其他正確解法按相應(yīng)步驟給分．
（I）由題意可得，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支除去其與x軸的交點(diǎn)．下面結(jié)合待定系數(shù)法求出雙曲線方程即可；
（II）由題意，直線MP（6）的斜率存在且不為0，設(shè)直線l的方程x=2．設(shè)MP的方程為y=k（x+2），將直線的方程代入雙曲線的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用垂直條件即可求得所求T的坐標(biāo)；
（III）由（II）知R（2，-4k），利用k表示出向量，最后結(jié)合向量的數(shù)量積求出結(jié)果即得．
點(diǎn)評(píng)：直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長(zhǎng)問(wèn)題、最值問(wèn)題、對(duì)稱問(wèn)題、軌跡問(wèn)題等．