Question

數(shù)列{b_n}（n∈N^*）是遞增的等比數(shù)列，且b₁+b₃=5，b₁b₃=4．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a_n=log₂b_n+3．
（Ⅰ）求數(shù)列{b_n}，{a_n}的通項(xiàng)公式：
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，是否存在正整數(shù)n，使得數(shù)列{

4Sn-11n

n

}前n項(xiàng)和為T_n滿足T_n-（n-1）²=4025？若存在，求出n的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）設(shè)等比數(shù)列{b_n}的公比為q，由于b₁+b₃=5，b₁b₃=4．b₁＜b₃，解得b₁=1，b₃=4．利用b3=b1q2，q＞0，解得q．可得b_n．利用數(shù)列{a_n}滿足a_n=log₂b_n+3．即可得出．
（II）利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得S_n，可得

4Sn-11n

n

=2n-1．可得T_n=n²．假設(shè)存在正整數(shù)n，使得數(shù)列{

4Sn-11n

n

}前n項(xiàng)和為T_n滿足T_n-（n-1）²=4025，解出即可．

解答： 解：（I）設(shè)等比數(shù)列{b_n}的公比為q，
∵b₁+b₃=5，b₁b₃=4．b₁＜b₃，解得b₁=1，b₃=4．
∴4=1×q²，q＞0，解得q=2．
∴bn=2n-1．
∵數(shù)列{a_n}滿足a_n=log₂b_n+3，
∴a_n=n-1+3=n+2．
（II）Sn=

n(3+n+2)

2

，
∴

4Sn-11n

n

=

2n(n+5)-11n

n

=2n-1．
∴T_n=

n(1+2n-1)

2

=n²．
假設(shè)存在正整數(shù)n，使得數(shù)列{

4Sn-11n

n

}前n項(xiàng)和為T_n滿足T_n-（n-1）²=4025，
∴n²-（n-1）²=4025，
∴2n-1=4025，解得n=2013．
∴存在正整數(shù)n=2013，使得數(shù)列{

4Sn-11n

n

}前n項(xiàng)和為T_n滿足T_n-（n-1）²=4025．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．