Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，且PA⊥AC，PA=AD=2AB=2BC．BC∥AD，AB⊥AD．
（1）若點E為PD的中點，求證：CE∥平面PAB；
（2）在平面PAC內，AF⊥PC．求證：AF⊥平面PCD．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）取PA的中點為G，連接BG、EG，得到四邊形BGEC為平行四邊形，所以EC∥BG；
（2）因為AB⊥AD，BC∥AD，AB=BC，AD=2BC，易證得CD⊥AC．判斷CD⊥平面PAC，得到CD⊥AF結合已知和線面平行的判定定理解得．

解答：
證明：（1）取PA的中點為G，連接BG、EG，則EG∥

1

2

AD，EG=

1

2

AD，------------（1分）
又BC∥AD，BC=

1

2

AD，所以EG∥BC，EG=BC，四邊形BGEC為平行四邊形．-------------（2分）
所以EC∥BG．----------------------------------------（3分）
又EC?平面PAB，BG?平面PAB，
故EC∥平面PAB．----------------------------------------（5分）
（2）因為AB⊥AD，BC∥AD，AB=BC，AD=2BC，易證得CD⊥AC．-----------------------（8分）
因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，
因為PA∩AC=A，所以CD⊥平面PAC．----（10分）
而AF?平面PAC，所以CD⊥AF．又已知AF⊥PC
又因為CD∩PC=C，所以AF⊥平面PCD．（12分）

點評：本題考查了線面平行的判定定理以及線面垂直的判定定理的運用關鍵是熟練定理和性質的運用．