Question

設(shè)X_n=αⁿ+α^n-1β+α^n-2β²+…+αβ^n-1+βⁿ．問(wèn)：當(dāng)α≠β時(shí)，求X_n的值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專(zhuān)題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：當(dāng)β=0時(shí)，可直接得到X_n的值；當(dāng)β≠0時(shí)，令γ=

α

β

，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和求解．

解答： 解：當(dāng)β=0時(shí)，X_n=αⁿ+α^n-1β+α^n-2β²+…+αβ^n-1+βⁿ=αⁿ；
當(dāng)β≠0時(shí)，令γ=

α

β

，依題意知γ≠1，
則X_n=αⁿ+α^n-1β+α^n-2β²+…+αβ^n-1+βⁿ
=βⁿ（γⁿ+γ^n-1+…+γ+1）
=βn•

γn+1-1

γ-1

=

βn( αn+1 βn+1 -1)

α β -1

=

αn+1-βn+1

α-β

．
當(dāng)β=0時(shí)，也適合上式，
綜上所述，當(dāng)α≠β時(shí)，X_n=

αn+1-βn+1

α-β

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了等比數(shù)列前n項(xiàng)和的求法，是中檔題．