Question

【題目】求所有的實(shí)數(shù)組（a、b、c），使得對(duì)任何整數(shù)n，都有.其中，表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù).

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

首先證明：“使對(duì)任何整數(shù)n，都有”等價(jià)于“a、b中至少有一個(gè)為整數(shù)，且c=a+b”.

一方面，若a、b中至少有一個(gè)為整數(shù)，且c=a+b，則不妨設(shè)a為整數(shù).那么，對(duì)任何整數(shù)n，na為整數(shù).所以，.

于是， .

另一方面，若對(duì)任何整數(shù)n，都有.則分別取n=1、-1，

得，

兩式相加得.

又對(duì)任何實(shí)數(shù)x，

于是，如果a、b都不是整數(shù)，則

故，矛盾.

所以，a、b中至少有一個(gè)為整數(shù).

不妨設(shè)a為整數(shù)，那么，對(duì)任何整數(shù)n，na為整數(shù)，于是，.

則對(duì)任何整數(shù)n，.

即.

故

而

于是，.

綜上，所求的實(shí)數(shù)組，，

其中，m、n為任意整數(shù)，t為任意實(shí)數(shù).