Question

15．棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)M，N，P分別為AB₁，BC₁，DD₁的中點(diǎn)，給出下列結(jié)論：
①M(fèi)N⊥AA₁
②直線C₁M與平面ABCD所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
③MN⊥BP
④四面體B-DA₁C₁的體積為$\frac{1}{3}$
則正確結(jié)論的序號(hào)為①②③④．

Answer 1

分析 如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．A（1，0，0），A₁（1，0，1），M$（1，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$，N$（\frac{1}{2}，1，\frac{1}{2}）$，C₁（0，1，1），B（1，1，0），P$（0，0，\frac{1}{2}）$．
①只要計(jì)算$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{A{A}_{1}}$=0是否成立，即可判斷出正誤；
②取平面ABCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），設(shè)直線C₁M與平面ABCD所成角為θ，利用sinθ=$|cos＜\overrightarrow{M{C}_{1}}，\overrightarrow{n}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{M{C}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{M{C}_{1}}||\overrightarrow{n}|}$，即可判斷出正誤；
③只要計(jì)算$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{BP}$=0是否成立，即可判斷出正誤；
④${V}_{B-D{A}_{1}{C}_{1}}$=${V}_{正方體A{C}_{1}}$-4×${V}_{三棱錐{A}_{1}-ABD}$，即可判斷出正誤．

解答 解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．
A（1，0，0），A₁（1，0，1），M$（1，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$，N$（\frac{1}{2}，1，\frac{1}{2}）$，C₁（0，1，1），B（1，1，0），P$（0，0，\frac{1}{2}）$．
①$\overrightarrow{MN}$=$（-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，0）$，$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，0，1），∴$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{A{A}_{1}}$=0，∴$\overrightarrow{MN}⊥\overrightarrow{A{A}_{1}}$，∴MN⊥AA₁，正確；
②$\overrightarrow{M{C}_{1}}$=$（-1，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$，取平面ABCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），設(shè)直線C₁M與平面ABCD所成角為θ，
則sinθ=$|cos＜\overrightarrow{M{C}_{1}}，\overrightarrow{n}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{M{C}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{M{C}_{1}}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{{1}^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}×1}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，正確；
③$\overrightarrow{BP}$=$（-1，-1，\frac{1}{2}）$，∴$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{BP}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+0$=0，∴$\overrightarrow{MN}⊥\overrightarrow{BP}$，∴MN⊥BP，正確；
④${V}_{B-D{A}_{1}{C}_{1}}$=${V}_{正方體A{C}_{1}}$-4×${V}_{三棱錐{A}_{1}-ABD}$=${1}^{3}-4×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{1}^{2}×1$=$\frac{1}{3}$，因此正確．
綜上可得：①②③④都正確．
故答案為：①②③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、線面角的計(jì)算公式、三棱錐的體積計(jì)算公式，考查了空間想象能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．