在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，若20sinA•
BC
+15sinB•
CA
+12sinC•
AB
=
0
．
（1）試判斷△ABC的形狀；
（2）設(shè)|
AB
|=5，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)切圓上的動(dòng)點(diǎn)，求
PA
2+
PB
2+
PC
2的取值范圍．
考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
專題：平面向量及應(yīng)用
分析：（1）由條件利用正弦定理可得20a•
BC
+15b•
CA
+12c•
AB
=
0
，化簡(jiǎn)可得可得15b-20a=0，且12c-20a=0，求得c2-b2=a2，故△ABC為直角三角形．
（2）以CA所在邊為x軸建立直角坐標(biāo)系，得內(nèi)切圓方程為（x-1）2+（y-1）2=1，設(shè)P坐標(biāo)為（x，y），化簡(jiǎn)要求的式子為28-2x，根據(jù)0≤x≤2，求得要求式子的值．
解答： 解：（1）△ABC中，由20sinA•
BC
+15sinB•
CA
+12sinC•
AB
=
0
，
利用正弦定理得20a•
BC
+15b•
CA
+12c•
AB
=
0
，
又
BC
=
BA
+
AC
=-(
AB
+
CA
)，故(15b-20a)
CA
+(12c-20a)
AB
=
0
．
由
CA
、
AB
為不共線向量，可得15b-20a=0，且12c-20a=0，
所以b=
4
3
a，c=
5
3
a，從而c2-b2=a2，故△ABC為直角三角形．
（2）以CA所在邊為x軸建立直角坐標(biāo)系，得內(nèi)切圓方程為（x-1）2+（y-1）2=1，
設(shè)P坐標(biāo)為（x，y），則
PA
2+
PB
2+
PC
2=(x-4)2+y2+x2+(y-3)2+x2+y2 
=3x2+3y2-8x-6y+25=28-2x，
因?yàn)?nbsp;0≤x≤2，所以，28-2x∈[18，22]．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，正弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=3，且an+2=（1+2|cos
nπ
2
|）an+|sin
nπ
2
|，（n∈N+）
（1）證明：數(shù)列{a2k}（k∈N+）為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，an=
Sn
n
+n-1．
（1）求證：數(shù)列{an}為等差數(shù)列，并寫出an與Sn的關(guān)于n的表達(dá)式；
（2）設(shè)數(shù)列{
1
anan+1
}的前n項(xiàng)和為Tn，證明：
1
3
≤Tn＜
1
2
；
（3）是否存在自然數(shù)n，使得2S1+
2S2
2
+
2Sn
n
-（n-2）2=2011．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=ax2-2lnx
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)g（x）=x2-2bx+4，當(dāng)a=1時(shí)，若對(duì)任意x1∈（
1
2
，
3
2
），當(dāng)任意x2∈[2，4]時(shí)，f（x1）≥g（x2）恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=2AF，BE與平面ABCD所成角的正切值為
2
2
．
（Ⅰ）求證：直線AC∥平面EFB；
（Ⅱ）求直線AC與平面ABE所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=|x-a|
（Ⅰ）當(dāng)a=2，解不等式f（x）≥4-|x-1|；
（Ⅱ）若f（x）≤1的解集為{x|0≤x≤2}，
1
m
+
1
2n
=a（m＞0，n＞0）．求證：m+2n≥4．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC，側(cè)棱與底面垂直，點(diǎn)D是棱BC的中點(diǎn)．
（1）求證：AD⊥BC1；
（2）求證：A1B∥平面ADC1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，設(shè)A、B、C、D為球O上的四點(diǎn)，若AD⊥平面ABC，且AD=2，∠BAC=60°，AB=2
3
，BC=3，則BC兩點(diǎn)間的球面距離是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知復(fù)數(shù)z=lnm+2i是純虛數(shù)，則
∫
m
0
1-x2
dx等于
 
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案