Question

【題目】已知函數(shù) .

（Ⅰ）討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）設，證明：當時， ；

（Ⅲ）設是的兩個零點，證明 .

Answer 1

【答案】（Ⅰ）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（Ⅱ）當時，；（Ⅲ）證明過程見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）求導，并判斷導數(shù)的符號，分別討論的取值，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求函數(shù)當時的最大值小于零即可．

（Ⅲ）由（Ⅱ）得 ，從而，于是，由（Ⅰ）知， .

試題解析：（Ⅰ）的定義域為 ，

求導數(shù)，得 ，

若 ，則，此時在上單調(diào)遞增，

若 ，則由得，當時， ，當時， ，

此時在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

（Ⅱ）令，則

.

求導數(shù)，得 ，

當時，，在上是減函數(shù).

而， ，

故當時，

（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，當時，函數(shù)至多有一個零點，

故，從而的最小值為，且，

不妨設，則， ，

由（Ⅱ）得 ，

從而，于是，

由（Ⅰ）知， .

點晴:本題考查函數(shù)導數(shù)的單調(diào)性.不等式比較大小，函數(shù)的零點問題：在（Ⅰ）中通過求導，并判斷導數(shù)的符號，分別討論的取值，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（Ⅱ）通過構(gòu)造函數(shù)，把不等式證明問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問題，求函數(shù)當時的最大值小于零即可．（Ⅲ）要充分利用（Ⅰ）（Ⅱ）問的結(jié)論.