Question

已知（1+x+mx²）¹⁰的展開式中x⁴的系數(shù)大于-330，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：二項式系數(shù)的性質

專題：計算題,不等式的解法及應用,二項式定理

分析：可將1+x看作整體，求出展開式的通項公式T_r+1，再求其中（1+x）^10-r的通項公式，令l+2r=4，則l=0，r=2或l=2，r=1或l=4，r=0．由條件列出不等式，解出即可．

解答： 解：（1+x+mx²）¹⁰的展開式的通項公式T_r+1=

C

r 10

(1+x)10-r(mx2)r，r=0，1，…，10
其中（1+x）^10-r的通項公式T_l+1=

C

l 10-r

xl，l=0，1，…，10-r．
令l+2r=4，則l=0，r=2或l=2，r=1或l=4，r=0．
則有展開式中x⁴的系數(shù)為：

C 2 10 C

0 8

m²+

C 1 10 C

2 9

m+

C 0 10 C

4 10

＞-330，
即為m²+8m+12＞0，解得，m＞-2或m＜-6．
則m的取值范圍為（-2，+∞）∪（-∞，-6）．

點評：本題考查二項式展開式的通項公式的運用，考查運算能力和分類思想，屬于中檔題．