Question

（1）求證：函數(shù)f(x)=

x+3

x+1

在區(qū)間（-1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)；
（2）寫出函數(shù)f(x)=

x+1

x+3

的單調(diào)區(qū)間；
（3）討論函數(shù)f(x)=

x+a

x+2

在區(qū)間（-2，+∞）上的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）任取x₁＞x₂＞-1，再對(duì)兩個(gè)函數(shù)值作差，通分后進(jìn)行整理化簡(jiǎn)，再根據(jù)兩個(gè)自變量的關(guān)系判斷符號(hào)，然后再定號(hào)和下結(jié)論；
（2）用分離常數(shù)法對(duì)解析式進(jìn)行變形，求出函數(shù)的定義域后，再求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）用分離常數(shù)法對(duì)解析式進(jìn)行變形，分a＞2、a=2和a＜2三種情況，判斷在區(qū)間上的單調(diào)性．

解答：（1）證明：任取x₁＞x₂＞-1，則f（x₁）-f（x₂）=

x1+3

x1+1

-

x2+3

x2+1

=

(x1+3)(x2+1)-(x2+3)(x1+1)

(x1+1)(x2+1)

=

2(x2-x1)

(x1+1)(x2+1)

∵x₁＞x₂＞-1，∴x₁+1＞0，x₂+1＞0；x₂-x₁＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f(x)=

x+3

x+1

在區(qū)間（-1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)．
解：（2）f(x)=

x+1

x+3

=1-

2

x+3

，
∴函數(shù)的定義域是（-∞，-3）∪（-3，+∞），
則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間（-∞，-3），（-3，+∞）．
（3）f(x)=

x+a

x+2

=1+

a-2

x+2

，
當(dāng)a＞2時(shí)，此函數(shù)在區(qū)間（-2，+∞）上單調(diào)遞減，
當(dāng)a=2時(shí)，無(wú)單調(diào)性；當(dāng)a＜2時(shí)，此函數(shù)在區(qū)間（-2，+∞）上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性判斷及證明，考查了用定義法證明單調(diào)性的步驟：取值-作差-變形-判斷符號(hào)-下結(jié)論，判斷分式函數(shù)的單調(diào)性時(shí)常用分離常數(shù)法對(duì)解析式變形，求出定義域后再判斷函數(shù)的單調(diào)性．