Question

如圖，某小區(qū)準備綠化一塊直徑為BC的半圓形空地，△ABC的內(nèi)接正方形PQRS為一水池，△ABC外的地方種草，其余地方種花．若BC=a，∠ABC=θ，設(shè)△ABC的面積為S₁，正方形PQRS的面積為S₂，將比值稱為“規(guī)劃合理度”．
（1）試用a，θ表示S₁和S₂；
（2）若a為定值，當θ為何值時，“規(guī)劃合理度”最��？并求出這個最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）據(jù)題知三角形ABC為直角三角形，根據(jù)三角函數(shù)分別求出AC和AB，求出三角形ABC的面積S₁；設(shè)正方形PQRS的邊長為x，利用三角函數(shù)分別表示出BQ和RC，利用BQ+QR+RC=a列出方程求出x，算出S₂；
（2）由比值 稱為“規(guī)劃合理度”，可設(shè)t=sin2θ來化簡求出S₁與S₂的比值，利用三角函數(shù)的增減性求出比值的最小值即可求出此時的θ．
解答：解：（1）在Rt△ABC中，AB=acosθ，AC=asinθ，（3分）
設(shè)正方形的邊長為x則，
由BP+AP=AB，得，故
所以（6分）
（2），（8分）
令t=sin2θ，因為，
所以0＜2θ＜π，則t=sin2θ∈（0，1]（10分）
所以，，
所以函數(shù)g（t）在（0，1]上遞減，（11分）
因此當t=1時g（t）有最小值，
此時
所以當時，“規(guī)劃合理度”最小，最小值為．（12分）
點評：考查學生會根據(jù)實際問題選擇合適的函數(shù)關(guān)系的能力，以及在實際問題中建立三角函數(shù)模型的能力．