Question

4．已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}滿足：a₁=3，（2n-1）a_n+2=（2n+1）a_n-1+8n²（n＞1，n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n；
（2）設(shè)b_n=$\frac{1}{a_n}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和S_n．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)對(duì)（2n-1）a_n+2=（2n+1）a_n-1+8n²變形、整理可知$\frac{{a}_{n}}{2n+1}$-$\frac{{a}_{n-1}}{2n-1}$=2，進(jìn)而可知數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{2n+1}$}是以$\frac{{a}_{1}}{3}$=1為首項(xiàng)、2為公差的等差數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過(guò)裂項(xiàng)可知b_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），并項(xiàng)相加即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵（2n-1）a_n+2=（2n+1）a_n-1+8n²，
∴（2n-1）a_n-（2n+1）a_n-1=2（4n²-1）=2（2n+1）（2n-1），
∴$\frac{{a}_{n}}{2n+1}$-$\frac{{a}_{n-1}}{2n-1}$=2，
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{2n+1}$}是以$\frac{{a}_{1}}{3}$=1為首項(xiàng)、2為公差的等差數(shù)列，
∴$\frac{{a}_{n}}{2n+1}$=1+2（n-1）=2n-1，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n=（2n+1）（2n-1）=4n²-1；
（2）∵a_n=（2n+1）（2n-1），
∴b_n=$\frac{1}{a_n}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴S_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{n}{2n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求解方法，解題時(shí)要注意構(gòu)造法和裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．注意解題方法的積累，屬于中檔題．