Question

7．已知中心在原點，焦點在x軸上的橢圓過圓x²+y²-8x+11=0的圓心，且斜率為$\frac{1}{2}$的直線m經(jīng)過橢圓的左焦點F₁與圓相切，求橢圓的標準方程．

Answer 1

分析 利用斜率為$\frac{1}{2}$的直線m經(jīng)過橢圓的左焦點F₁與圓相切，求出c，利用橢圓過圓x²+y²-8x+11=0的圓心，求出A，可得b，即可求橢圓的標準方程．

解答 解：圓x²+y²-8x+11=0，可化為圓（x-4）²+y²=5．
斜率為$\frac{1}{2}$的直線m經(jīng)過橢圓的左焦點F₁，方程為y=$\frac{1}{2}$（x+c），
∵斜率為$\frac{1}{2}$的直線m經(jīng)過橢圓的左焦點F₁與圓相切，
∴$\frac{|4-c|}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$，∴c=1，
設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
∵橢圓過圓x²+y²-8x+11=0的圓心，
∴a=4，∴b=$\sqrt{15}$，
∴橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{15}$=1．

點評 本題考查求橢圓的標準方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，確定橢圓的幾何量是關(guān)鍵．