Question

數(shù)列{a_n} 中，a₁=，前n項(xiàng)和S_n滿足Sn+1-Sn=（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列數(shù)列{a_n} 的通項(xiàng)公式a_n，以及前n項(xiàng)和S_n；
（2）b_n=，求數(shù)列{a_n•b_n} 的前n項(xiàng)的和T_n．

Answer 1

解：（1）∵S_n滿足S_n+1-S_n=（n∈N^*）．
∴a_n=（n∈N^*）．
a_n=（n≥2，n∈N^*）．
又∵n=1時(shí)，a₁=，
∴a_n=（n∈N^*）．
∴S_n=1-（n∈N^*）．
（2）由（1）中a_n=（n∈N^*）．
∴b_n==n
∴a_n•b_n=n•（n∈N^*）
∴T_n=1•+2•²+3•³+…+n•③
2T_n=1•⁰+2•¹+3•²+…+n•④
由③-④得：
-T_n=-1-（¹+²+…+）+n•=-2+（n+2）
∴T_n=2-（n+2）
分析：（1）分析題意可知是由s_n求a_n故需利用a_n與s_n的關(guān)系：當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=s_n-s_n-1來求解同時(shí)需驗(yàn)證a₁=1是否也滿足上式．當(dāng)a_n求出后分析它的特征然后決定采用什么方法求前n項(xiàng)和．
（2）由b_n=，根據(jù)（1）數(shù)列{a_n} 的通項(xiàng)公式a_n，可求出數(shù)列{a_n•b_n} 的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出數(shù)列{a_n•b_n} 的前n項(xiàng)的和T_n．
點(diǎn)評：本題主要考查由前n 項(xiàng)和的遞推公式求數(shù)列通項(xiàng)公式，及用錯(cuò)位相減求和法求T_n，屬中檔題．