【題目】已知函數(shù),其中.
(Ⅰ) 當a=-1時,求證: ;
(Ⅱ) 對任意,存在,使成立,求a的取值范圍.(其中e是自然對數(shù)的底數(shù),e=2.71828…)
【答案】(Ⅰ)詳見解析(Ⅱ)
【解析】試題分析:
(1)利用題意證得函數(shù)的最大值為 即可證得結(jié)論;
(2)首先利用分析法真理要證明的不等式,然后構(gòu)造函數(shù)證明結(jié)論即可.
試題解析:
(Ⅰ)當 a=-1時, (x>-1),
則,令,得.
當時, , 單調(diào)遞增;當時, , 單調(diào)遞減.
故當時,函數(shù)取得極大值,也為最大值,所以,
所以, ,得證.
(Ⅱ)不等式,
即為.
而
.
令.故對任意,存在,使恒成立,
所以.
設(shè),則,
設(shè),知對于恒成立,
則為上的增函數(shù),于是,
即對于恒成立,所以為上的增函數(shù).
所以
設(shè),即,
當a≥0時, 為上的減函數(shù),且其值域為R,可知符合題意.
當a<0時, ,由可得,
由得,則p(x)在上為增函數(shù);由得,則p(x)在上為減函數(shù),所以.
從而由,解得.
綜上所述,a的取值范圍是.
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【題目】下列各組函數(shù)中,表示同一函數(shù)的是( )
A.f(x)= ,g(x)=( )2
B.f(x)=(x﹣1)0 , g(x)=1
C.f(x) ,g(x)=x+1
D.f(x)= ,g(t)=|t|
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【題目】如圖,在圓柱中,A,B,C,D是底面圓的四等分點,O是圓心,A1A,B1B,C1C與底面ABCD垂直,底面圓的直徑等于圓柱的高.
(Ⅰ)證明:BC⊥AB1;
(Ⅱ)(ⅰ)求二面角A1 - BB1 - D的大;
(ⅱ)求異面直線AB1和BD所成角的余弦值.
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【題目】選修4—4:坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).在以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C2: .
(Ⅰ)求曲線C1和C2的直角坐標方程,并分別指出其曲線類型;
(Ⅱ)試判斷:曲線C1和C2是否有公共點?如果有,說明公共點的個數(shù);如果沒有,請說明理由;
(Ⅲ)設(shè)是曲線C1上任意一點,請直接寫出a + 2b的取值范圍.
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【題目】共享單車是指由企業(yè)在校園、公交站點、商業(yè)區(qū)、公共服務(wù)區(qū)等場所提供的自行車單車共享服務(wù),由于其依托“互聯(lián)網(wǎng)+”,符合“低碳出行”的理念,已越來越多地引起了人們的關(guān)注.某部門為了對該城市共享單車加強監(jiān)管,隨機選取了100人就該城市共享單車的推行情況進行問卷調(diào)查,并將問卷中的這100人根據(jù)其滿意度評分值(百分制)按照[50,60),[60,70),…,[90,100] 分成5組,制成如圖所示頻率分直方圖.
(Ⅰ) 求圖中的值;
(Ⅱ) 已知滿意度評分值在[90,100]內(nèi)的男生數(shù)與女生數(shù)的比為2:1,若在滿意度評分值為[90,100]的人中隨機抽取2人進行座談,求所抽取的兩人中至少有一名女生的概率.
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,橢圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).
(Ⅰ)寫出橢圓C的普通方程和直線l的傾斜角;
(Ⅱ)若點P(1,2),設(shè)直線l與橢圓C相交于A,B兩點,求|PA|·|PB|的值.
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【題目】為了調(diào)查“五一”小長假出游選擇“有水的地方”是否與性別有關(guān),現(xiàn)從該市“五一”出游旅客中隨機抽取500人進行調(diào)查,得到如下2×2列聯(lián)表:(單位:人)
選擇“有水的地方” | 不選擇“有水的地方” | 合計 | |
男 | 90 | 110 | 200 |
女 | 210 | 90 | 300 |
合計 | 300 | 200 | 500 |
(Ⅰ)據(jù)此樣本,有多大的把握認為選擇“有水的地方”與性別有關(guān);
(Ⅱ)若以樣本中各事件的頻率作為概率估計全市“五一”所有出游旅客情況,現(xiàn)從該市的全體出游旅客(人數(shù)眾多)中隨機抽取3人,設(shè)3人中選擇“有水的地方”的人數(shù)為隨機變量X,求隨機變量X的數(shù)學(xué)期望和方差.
附臨界值表及參考公式:
P(K2≥k0) | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
,n=a+b+c+d.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某社區(qū)為豐富居民節(jié)日活動,組織了“迎新春”象棋大賽,已知報名的選手情況統(tǒng)計如下表:
組別 | 男 | 女 | 總計 |
中年組 | 91 | ||
老年組 | 16 |
已知中年組女性選手人數(shù)是僅比老年組女性選手人數(shù)多2人.若對中年組和老年組分別利用分層抽樣的方法抽取部分報名者參加比賽,已知老年組抽取了5人,其中女性3人,中年組抽取了7人.
(Ⅰ)求表格中的數(shù)據(jù);
(Ⅱ)若從選出的中年組的選手中隨機抽取兩名進行比賽,求至少有一名女性選手的概率.
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