如圖,設F是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦點,MN為橢圓的長軸,|MN|=8,焦距為2c,對于點P(-
a2
c
,0
)有|PM|=2|MF|
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)求證:對于任意的割線PAB,恒有∠AFM=∠BFN.
分析:(Ⅰ)由|MN|=8,知a=4,由|PM|=2|MF|,得
a2
c
-a=2(a-c),由此能求出橢圓的標準方程.
(Ⅱ)當AB的斜率為0時,∠AFM=∠BFM=0,滿足題意.當AB方程為x=my-8,代入橢圓方程得(3m2+4)y2-48my+144=0,由kAF+kBF=0,得到∠AFM=∠BFN.
故恒有∠AFM=∠BFN.
解答:解:(Ⅰ)解:(1)∵線段MN為橢圓的長軸,且|MN|=8,∴a=4
∵|PM|=2|MF|,
a2
c
-a=2(a-c)
∴a2-ac=2ac-2c2,
∴2e2-3e+1=0,
解得e=
1
2
或e=1(舍去)
∴c=2,b2=a2-c2=12,
∴橢圓的標準方程為
x2
16
+
y2
12
=1.
(2)當AB的斜率為0時,顯然∠AFM=∠BFM=0,滿足題意.
當AB方程為x=my-8,代入橢圓方程整理得
(3m2+4)y2-48my+144=0,
設A(x1,y1),B(x2,y2),
y1+y2=
48m
3m2+4
,y1y2=
144
3m2+4

∴kAF+kBF=
y1
x1+2
+
y2
x2+2
=
y1
my1-6
+
y2
my2-6
=
2my1y2-6(y1+y2)
(my1-6)(my2-6)
=
288m
3m2+4
-
288m
3m2+4
(my1-6)(my2-6)
=0
∴kAF+kBF=0,從而∠AFM=∠BFN  綜上可知,恒有∠AFM=∠BFN.
點評:本題考查直線與橢圓的綜合運用,考查運算求解能力,推理論證能力;考查化歸與轉化思想.對數(shù)學思維的要求比較高,有一定的探索性.綜合性強,難度大,是高考的重點.解題時要認真審題,仔細解答.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知點是F拋物線C 1x2=4y與橢圓C 2
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)
的公共焦點,且橢圓的離心率為
1
2

(1)求橢圓的方程;
(2)過拋物線上一點P,作拋物線的切線l,切點P在第一象限,如圖,設切線l與橢圓相交于不同的兩點A、B,記直線OP,F(xiàn)A,F(xiàn)B的斜率分別為k,k1,k2(其中O為坐標原點),若k 1+k2=
20
3
k
,求點P的坐標.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
3
2
,一個焦點坐標為F(-
3
,0)

(1)求橢圓C1的方程;
(2)點N是橢圓的左頂點,點P是橢圓C1上不同于點N的任意一點,連接
NP并延長交橢圓右準線與點T,求
TP
NP
的取值范圍;
(3)設曲線C2:y=x2-1與y軸的交點為M,過M作兩條互相垂直的直線與曲線C2、橢圓C1相交于點A、D和B、E,(如圖),記△MAB、
△MDE的面積分別是S1,S2,當
S1
S2
=
27
64
時,求直線AB的方程.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的右焦點F2與拋物線y2=8x的焦點重合,過F2作與x軸垂直的直線l與橢圓交于S、T兩點,與拋物線交于C、D兩點,且
|CD|
|ST|
=2
6

(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)設P是橢圓M上的任意一點,EF為圓N:x2+(y-2)2=1的任意一條直徑(E、F為直徑的兩個端點),求
PE
PF
的最大值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

如圖,橢圓E:數(shù)學公式的右焦點F2與拋物線y2=8x的焦點重合,過F2作與x軸垂直的直線l與橢圓交于S、T兩點,與拋物線交于C、D兩點,且數(shù)學公式
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)設P是橢圓M上的任意一點,EF為圓N:x2+(y-2)2=1的任意一條直徑(E、F為直徑的兩個端點),求數(shù)學公式的最大值.

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科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年山東省濟寧市育才中學高三(下)3月段考數(shù)學試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

如圖,橢圓E:的右焦點F2與拋物線y2=8x的焦點重合,過F2作與x軸垂直的直線l與橢圓交于S、T兩點,與拋物線交于C、D兩點,且
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)設P是橢圓M上的任意一點,EF為圓N:x2+(y-2)2=1的任意一條直徑(E、F為直徑的兩個端點),求的最大值.

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