Question

已知拋物線C₁：y²=2px（p＞0）的焦點F以及橢圓C₂：的上、下焦點及左、右頂點均在圓O：x²+y²=1上．
（Ⅰ）求拋物線C₁和橢圓C₂的標準方程；
（Ⅱ）過點F的直線交拋物線C₁于A、B兩不同點，交y軸于點N，已知，求證：λ₁+λ₂為定值．
（Ⅲ）直線l交橢圓C₂于P、Q兩不同點，P、Q在x軸的射影分別為P'、Q'，，若點S滿足：，證明：點S在橢圓C₂上．

Answer 1

（Ⅰ）解：由C₁：y²=2px（p＞0）焦點F（，0）在圓O：x²+y²=1上得：，∴p=2
∴拋物線C₁：y²=4x…（2分）
同理由橢圓C₂：的上、下焦點（0，c），（0，-c）及左、右頂點（-b，0），（b，0）均在圓O：x²+y²=1上可解得：b=c=1，a=
∴橢圓C₂：
（Ⅱ）證明：設直線AB的方程為y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則N（0，-k）
直線與拋物線聯(lián)立，消元可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0
∴x₁+x₂=，x₁x₂=1
∵
∴λ₁（1-x₁）=x₁，λ₂（1-x₂）=x₂
∴，
∴λ₁+λ₂=為定值；
（Ⅲ）證明：設P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），則P′（x₃，0），Q′（x₄，0），
∵，∴S（x₃+x₄，y₃+y₄）
∵
∴2x₃x₄+y₃y₄=-1①
∵P，Q在橢圓上，∴②，③
由①+②+③得（x₃+x₄）²+=1
∴點S在橢圓C₂上
分析：（Ⅰ）由C₁：y²=2px（p＞0）焦點F（，0）在圓O：x²+y²=1上，可求p的值；同理由橢圓的上、下焦點（0，c），（0，-c）及左、右頂點（-b，0），（b，0）均在圓O：x²+y²=1上可解得橢圓C₂的方程；
（Ⅱ）設直線AB的方程與拋物線聯(lián)立，消元，利用韋達定理，結合，從而可求λ₁、λ₂的值，即可得證；
（Ⅲ）設P，Q的坐標，利用，確定S的坐標，利用及P，Q在橢圓上，即可證得結論．
點評：本題考查拋物線與橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，解題的關鍵是聯(lián)立方程，利用向量知識求解．