Question

【題目】已知函數(shù)， .

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若圖像上任意一點處的切線的斜率，求的取值范圍；

（3）若對于區(qū)間上任意兩個不相等的實數(shù)都有成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）

【解析】試題分析：

（1）求導(dǎo)數(shù)后，解不等式可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（2）由題意可求得導(dǎo)函數(shù)的最小值為，可得，結(jié)合，可得，即為所求范圍．（3）由題意得當(dāng)時， 在區(qū)間上恒單調(diào)遞減，故有．然后根據(jù)的取值的到函數(shù)的單調(diào)性，從而去掉中的絕對值，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)的問題處理，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的符號可求得所求范圍．

試題解析：

（1）由，

得

因為,

所以由得；

由得．

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．

（2）由（1）可知，

所以，

由，得，

整理得，

解得

又，

所以．

故實數(shù)的取值范圍為．

（3）不妨設(shè)，

當(dāng)時， 在區(qū)間上恒單調(diào)遞減，有

①當(dāng)時， 在區(qū)間上單調(diào)遞減，

故，

則等價于，

令，由知在區(qū)間上單調(diào)遞減，

又，

所以當(dāng)時， 恒成立，

所以，

解得．

② ．

③當(dāng)， 在區(qū)間上單調(diào)遞增，

故

則等價于，

令，由知在區(qū)間上單調(diào)遞減，

又，

所以當(dāng)時， 恒成立，

所以，

解得，

綜上可得實數(shù)的取值范圍為．