Question

求（1）（x+1）（x-1）（x-

1

x

）⁶展開式中的x⁴項(xiàng)的系數(shù)．
（2）化簡(jiǎn)：

C

1 n

+

C

2 n

•3+

C

3 n

•32+…+

C

n n

•3n-1．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,組合及組合數(shù)公式

專題：計(jì)算題,排列組合,二項(xiàng)式定理

分析：（1）求出(x-

1

x

)6的通項(xiàng)，再由分類原理，即可得到x⁴項(xiàng)的系數(shù)；
（2）提取

1

3

，運(yùn)用添項(xiàng)，湊成二項(xiàng)式展開式的右邊，再由二項(xiàng)式定理，即可得到．

解答： 解：（1）(x+1)(x-1)(x-

1

x

)6=(x2-1)(x-

1

x

)6，
在(x-

1

x

)6中通項(xiàng)Tr+1=

C

r 6

(-1)rx6-2r，
而x²項(xiàng)的r=2，T3=15x2
x⁴項(xiàng)的r=1，T2=-6x4，
由x²•15x²+（-1）•（-6x⁴）=21x⁴
所求展開式中x⁴項(xiàng)的系數(shù)為21．
（2）原式=

1

3

(

C

1 n

•3+

C

2 n

•32+…+

C

n n

•3n)=

1

3

(

C

0 n

•30+

C

1 n

•3+

C

2 n

•32+…+

C

n n

•3n)-

1

3

=

1

3

(

C

0 n

1n•30+

C

1 n

1n-1•3+

C

2 n

1n-2•32+…+

C

n n

10•3n)-

1

3

=

1

3

(1+3)n-

1

3

=

4

3

n-

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理的運(yùn)用，求指定的項(xiàng)的系數(shù)，注意分類思想的運(yùn)用，考查組合數(shù)與二項(xiàng)展開式的關(guān)系，屬于中檔題．