Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，a，b，c為實(shí)數(shù)，且當(dāng)|x|≤1時，恒有|f（x）|≤1；
（I） 證明：|c|≤1；
（II）證明：|a|≤2；
（III）若g（x）=λax+b（λ＞1），求證：當(dāng)|x|≤1時，|g（x）|≤2λ．

Answer 1

解：（I）∵當(dāng)|x|≤1時，
恒有|f（x）|≤1；
∴|f（0）|≤1，
∴c≤1
（II）∵f（0）=c，f（1）=a+b+c，f（-1）=a-b+c，
∴2a=f（1）+f（-1）-2f（0）
又∵|x|≤1時，|f（x）|≤1，
∴|f（1）|≤1，|f（-1）|≤1，
|f（0）|≤1，
∴|2a|=|f（1）+f（-1）-2f（0）|≤|f（1）|+|f（-1）|+2|f（0）|≤4，
∴|a|≤2．
（III）∵f（0）=c，f（1）=a+b+c，f（-1）=a-b+c
由
∴=
=，
∵λ≥1，|f（1）|≤1，|f（-1）|≤1，|f（0）|≤1，
∴，
∴．
分析：（I）當(dāng)|x|≤1時，恒有|f（x）|≤1．由此能夠證明c≤1．
（Ⅱ）由f（0）=c，f（1）=a+b+c，f（-1）=a-b+c，知2a=f（1）+f（-1）-2f（0）．又由|x|≤1時，|f（x）|≤1，|f（1）|≤1，|f（-1）|≤1，|f（0）|≤1．由此能夠證明|a|≤2．
（Ⅲ）由f（0）=c，f（1）=a+b+c，f（-1）=a-b+c．由．由一次函數(shù)的單調(diào)性能夠證明|g（x）|≤2λ．
點(diǎn)評：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地運(yùn)用不等式的性質(zhì)．