Question

14．設(shè)n∈N^*，圓C_n：（x-$\frac{1}{n}$）²+（y-1）²=$\frac{{4}^{n+1}-1}{{4}^{n+1}+2}$的面積為S_n，則$\underset{lim}{n→∞}$S_n=π．

Answer 1

分析 根據(jù)圓的方程可得出圓的半徑，從而可以求出圓的面積${S}_{n}=\frac{π（{4}^{n+1}-1）}{{4}^{n+1}+2}$，在求極限時(shí)，分子分母同除以4ⁿ⁺¹，然后求數(shù)列極限即可．

解答 解：根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得圓的面積${S}_{n}=\frac{π（{4}^{n+1}-1）}{{4}^{n+1}+2}$；
∴$\underset{lim}{n→∞}{S}_{n}=\underset{lim}{n→∞}\frac{π（{4}^{n+1}-1）}{{4}^{n+1}+2}$=$\underset{lim}{n→∞}\frac{π（1-\frac{1}{{4}^{n+1}}）}{1+\frac{2}{{4}^{n+1}}}$=$\frac{π（1-0）}{1+0}=π$．
故答案為：π．

點(diǎn)評(píng) 考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，圓的面積公式，以及數(shù)列極限的概念及求法．