【題目】已知數(shù)列、滿足,且
(1)令證明:是等差數(shù)列,是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列和的通項公式;
(3)求數(shù)列和的前n項和公式.
【答案】(1)證明見解析;(2),;(3)數(shù)列的前項和為,數(shù)列的前項和為.
【解析】
(1)在等式中將兩式分別相加或相減,利用等差數(shù)列的定義可證明出數(shù)列是等差數(shù)列,利用等比數(shù)列的定義可證明出數(shù)列為等比數(shù)列;
(2)求出數(shù)列、的通項公式,可建立關(guān)于、的方程組,解出、,即可得出數(shù)列和的通項公式;
(3)利用分組求和法可求出數(shù)列和的前項和.
(1),
將上述兩等式相加得,
即,因此,又,
所以數(shù)列是首項為,公差為的等差數(shù)列,.
又由題設(shè)得,即,
因此,又,
所以數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列,;
(2)由(1)知,,即,
解得,;
(3)設(shè)數(shù)列和的前項和分別為、,
則,同理可得.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】江心洲有一塊如圖所示的江邊,,為岸邊,岸邊形成角,現(xiàn)擬在此江邊用圍網(wǎng)建一個江水養(yǎng)殖場,有兩個方案:方案l:在岸邊上取兩點(diǎn),用長度為的圍網(wǎng)依托岸邊線圍成三角形(,兩邊為圍網(wǎng));方案2:在岸邊,上分別取點(diǎn),用長度為的圍網(wǎng)依托岸邊圍成三角形.請分別計算,面積的最大值,并比較哪個方案好.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C:(a>b>0)的左.右頂點(diǎn)分別為A,B,離心率為,點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn).
(1) 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2) 如圖,過點(diǎn)C(0,1)且斜率大于1的直線l與橢圓交于M,N兩點(diǎn),記直線AM的斜率為k1,直線BN的斜率為k2,若k1=2k2,求直線l斜率的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著自媒體直播平臺的迅猛發(fā)展,直播平臺上涌現(xiàn)了許多知名三農(nóng)領(lǐng)域創(chuàng)作者,通過直播或視頻播放,幫助當(dāng)?shù)剞r(nóng)民在直播平臺上銷售了大量的農(nóng)產(chǎn)品,促進(jìn)了農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)發(fā)展,當(dāng)?shù)剞r(nóng)業(yè)與農(nóng)村管理部門對近幾年的某農(nóng)產(chǎn)品年產(chǎn)量進(jìn)行了調(diào)查,形成統(tǒng)計表如下:
年份 | ||||||
年份代碼 | ||||||
年產(chǎn)量(萬噸) |
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù),建立關(guān)于的線性回歸方程;
(2)根據(jù)線性回歸方程預(yù)測年該地區(qū)該農(nóng)產(chǎn)品的年產(chǎn)量;
(3)從年到年的年年產(chǎn)量中隨機(jī)選出年的產(chǎn)量進(jìn)行具體調(diào)查,求選出的年中恰有一年的產(chǎn)量小于萬噸的概率.
附:對于一組數(shù)據(jù)、、、,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為,.(參考數(shù)據(jù):)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2019年2月13日《煙臺市全民閱讀促進(jìn)條例》全文發(fā)布,旨在保障全民閱讀權(quán)利,培養(yǎng)全民閱讀習(xí)慣,提高全民閱讀能力,推動文明城市和文化強(qiáng)市建設(shè).某高校為了解條例發(fā)布以來全校學(xué)生的閱讀情況,隨機(jī)調(diào)查了200名學(xué)生每周閱讀時間(單位:小時)并繪制如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求這200名學(xué)生每周閱讀時間的樣本平均數(shù)和中位數(shù)(的值精確到0.01);
(2)為查找影響學(xué)生閱讀時間的因素,學(xué)校團(tuán)委決定從每周閱讀時間為,的學(xué)生中抽取9名參加座談會.
(i)你認(rèn)為9個名額應(yīng)該怎么分配?并說明理由;
(ii)座談中發(fā)現(xiàn)9名學(xué)生中理工類專業(yè)的較多.請根據(jù)200名學(xué)生的調(diào)研數(shù)據(jù),填寫下面的列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為學(xué)生閱讀時間不足(每周閱讀時間不足8.5小時)與“是否理工類專業(yè)”有關(guān)?
閱讀時間不足8.5小時 | 閱讀時間超過8.5小時 | |
理工類專業(yè) | 40 | 60 |
非理工類專業(yè) |
附:().
臨界值表:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
<> | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在梯形中,,,,過,分別作的垂線,垂足分別為,,已知,,將梯形沿,同側(cè)折起,使得平面平面,平面平面,得到圖2.
(1)證明:平面;
(2)求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正項等比數(shù)列滿足,,數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列,的通項公式;
(2)令,求數(shù)列的前項和;
(3)若,且對所有的正整數(shù)都有成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), , .
(1)若,且存在單調(diào)遞減區(qū)間,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)設(shè)函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于點(diǎn), ,過線段的中點(diǎn)作軸的垂線分別交, 于點(diǎn), ,證明: 在點(diǎn)處的切線與在點(diǎn)處的切線不平行.
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