Question

【題目】已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足.

（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；

（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（3）若，且對(duì)所有的正整數(shù)都有成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）,；（2）；（3）.

【解析】

（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，根據(jù)條件可求出的值，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求出，再由對(duì)數(shù)的運(yùn)算可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的前項(xiàng)和為；

（3）利用數(shù)列單調(diào)性的定義求出數(shù)列最大項(xiàng)的值為，由題意得出關(guān)于的不等式對(duì)任意的恒成立，然后利用參變量分離法得出，并利用基本不等式求出在時(shí)的最小值，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.

（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，由可得，

，，即，，解得，.

；

（2）由（1）可得，

，

可得，

上式下式，得，

因此，；

（3），，

，，即，則有.

所以，數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，則數(shù)列的最大項(xiàng)為.

由題意可知，關(guān)于的不等式對(duì)任意的恒成立，.

由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，

則在時(shí)的最小值為，，

因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.