【題目】石雕工藝承載著幾千年的中國(guó)石雕文化,隨著科技的發(fā)展,機(jī)器雕刻產(chǎn)品越來(lái)越多.某石雕廠計(jì)劃利用一個(gè)圓柱形的石材(如圖1)雕刻制作一件工藝品(如圖2),該作品的上方是一個(gè)球體,下方是一個(gè)正四棱柱,經(jīng)測(cè)量,圓柱形石材的底面半徑米,高米,制作要求如下:首先需將石材切割為體積相等的兩部分(分別稱(chēng)為圓柱A和圓柱B),要求切面與原石材的上、下底面平行(不考慮損耗),然后將圓柱A切割打磨為一個(gè)球體,將圓柱B切割打磨為一個(gè)長(zhǎng)方體,則加工打磨后所得工藝品的體積的最大值為________立方米.
【答案】
【解析】
要求加工打磨后所得工藝品的體積的最大值,只需上方的球與下方的長(zhǎng)方體的體積同時(shí)取得最大值即可.
因?yàn)閳A柱A和圓柱B的體積一樣大,所以它們的高一樣,即米,
要使工藝品的體積最大,則上方的球與下方的長(zhǎng)方體的體積同時(shí)取得最大值,
設(shè)由圓柱A打磨的球體半徑為,則,即,所以,
當(dāng)時(shí),球的體積取得最大值,此時(shí)球體體積,
設(shè)下方的長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為,,
要使長(zhǎng)方體的體積最大,長(zhǎng)方體的高與圓柱B的高相等,此時(shí)其體積,
因?yàn)殚L(zhǎng)方體為圓柱B的內(nèi)接長(zhǎng)方體,即長(zhǎng)方體的底面是圓柱底面的內(nèi)接長(zhǎng)方形,
所以長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)等于圓柱底面的直徑,即,
由基本不等式可得,即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),
所以長(zhǎng)方體體積的最大值為,
所以所得工藝品的體積的最大值為(立方米).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,平面,,,且,,
(1)求證:;
(2)在線段上,是否存在一點(diǎn),使得二面角的大小為,如果存在,求與平面所成的角的正弦值,如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在中,,,,分別為,的中點(diǎn)是由繞直線旋轉(zhuǎn)得到,連結(jié),,.
(1)證明:平面;
(2)若,棱上是否存在一點(diǎn),使得?若存在,確定點(diǎn) 的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所,分上、中、下三層,上層中心有一塊圓形石板(稱(chēng)為天心石),環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán),向外每環(huán)依次增加9塊,下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊,向外每環(huán)依次也增加9塊,已知每層環(huán)數(shù)相同,且下層比中層多729塊,則三層共有扇面形石板(不含天心石)( )
A.3699塊B.3474塊C.3402塊D.3339塊
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,AC∩BD=O,E是線段B1C(含端點(diǎn))上的一動(dòng)點(diǎn),則
①OE⊥BD1;
②OE面A1C1D;
③三棱錐A1﹣BDE的體積不是定值;
④OE與A1C1所成的最大角為90°.
上述命題中正確的個(gè)數(shù)是( 。
A.1B.2C.3D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(,為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的坐標(biāo)方程為,若直線與曲線相切.
(1)求曲線的極坐標(biāo)方程;
(2)在曲線上取兩點(diǎn)、于原點(diǎn)構(gòu)成,且滿(mǎn)足,求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級(jí)和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次,整理數(shù)據(jù)得到下表(單位:天):
鍛煉人次 空氣質(zhì)量等級(jí) | [0,200] | (200,400] | (400,600] |
1(優(yōu)) | 2 | 16 | 25 |
2(良) | 5 | 10 | 12 |
3(輕度污染) | 6 | 7 | 8 |
4(中度污染) | 7 | 2 | 0 |
(1)分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1,2,3,4的概率;
(2)求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表);
(3)若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1或2,則稱(chēng)這天“空氣質(zhì)量好”;若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為3或4,則稱(chēng)這天“空氣質(zhì)量不好”.根據(jù)所給數(shù)據(jù),完成下面的2×2列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表,判斷是否有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)?
人次≤400 | 人次>400 | |
空氣質(zhì)量好 | ||
空氣質(zhì)量不好 |
附:,
P(K2≥k) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù) .
(1)當(dāng)時(shí),討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當(dāng), 時(shí),對(duì)任意,有成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在定義域上的最大值為,求實(shí)數(shù)的值;
(2)設(shè)函數(shù),當(dāng)時(shí),對(duì)任意的恒成立,求滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)的最小整數(shù)值.
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