Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ln（ax+b）+ex﹣1（a≠0）．
（1）當(dāng)a=﹣1，b=1時(shí)，判斷函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（2）若f（x）≤ex﹣1+x+1，求ab的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)a=﹣1，b=1時(shí)，f（x）=ln（﹣x+1）+ex﹣1，定義域?yàn)閧x|x＜1}，

當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=ln（﹣x+1）+ex﹣1＞0，所以函數(shù)f（x）在（﹣∞，0]內(nèi)無(wú)零點(diǎn)；

當(dāng)0＜x＜1時(shí)， ，因?yàn)? ，ex﹣1＜1，所以 ，

說(shuō)明函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，

又f（0）=e﹣1＞0，當(dāng) 時(shí)， ，

所以函數(shù)f（x）在（0，1）內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；

綜上，函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是1；

（2）解：若ln（ax+b）+ex﹣1≤ex﹣1+x+1，即ln（ax+b）≤x+1，設(shè)g（x）=ln（ax+b）﹣x﹣1，

若a＜0，則當(dāng)x→﹣∞時(shí)，顯然g（x）＞0，故不符合題意，所以a＞0．

（ax+b＞0），

當(dāng) 時(shí)，g'（x）＞0，所以g（x）在 上單調(diào)遞增；

當(dāng) 時(shí)，g'（x）＜0，所以g（x）在 上單調(diào)遞減；

從而 ，

由題意可知 ，所以b≤2a﹣alna，

此時(shí)ab≤2a2﹣a2lna，令h（a）=2a2﹣a2lna，h'（a）=3a﹣2alna，

可知h（a）在 上單調(diào)增，在 上單調(diào)減，

所以 ，故ab的最大值為 ．

【解析】（1）當(dāng)a=﹣1，b=1時(shí)，化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，求出定義域，通過(guò)當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）＞0，說(shuō)明函數(shù)f（x）在（﹣∞，0]內(nèi)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，通過(guò)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性零點(diǎn)判定定理，推出結(jié)果．（2）不等式化為ln（ax+b）+ex﹣1≤ex﹣1+x+1，即ln（ax+b）≤x+1，設(shè)g（x）=ln（ax+b）﹣x﹣1，說(shuō)明a＞0，清楚函數(shù)的 （ax+b＞0），當(dāng) 時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng) 時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值，推出ab≤2a2﹣a2lna，令h（a）=2a2﹣a2lna，h'（a）=3a﹣2alna，求解函數(shù)的最大值即可．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．