Question

【題目】已知橢圓（a＞b＞0）的左右焦點分別為F1，F2，圖象經(jīng)過點A（2，0）和點B（0，）過F2與坐標(biāo)軸不垂直的直線l與橢圓C交于P，Q兩點，N為PQ的中點．

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)點，且MN⊥PQ于N，求直線PQ的方程．

Answer 1

【答案】（1）（2）直線PQ的方程為y（x﹣1），或y（x﹣1）

【解析】

（1）由圖象經(jīng)過點和點，可得，，即得橢圓的方程；

（2）因為直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，P（x1，y1），Q（x2，y2），聯(lián)立直線方程與橢圓方程，由韋達定理求解出的坐標(biāo)，根據(jù)，轉(zhuǎn)化求解即可．

（1）∵圖象經(jīng)過點A（2，0）和點B（0，），

∴a＝2，b， ∴橢圓C的方程為1；

（2）因為直線PQ的斜率存在，設(shè)直線方程為y＝k（x﹣1），P（x1，y1），Q（x2，y2），

聯(lián)立整理得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，

由韋達定理知x1+x2，y1+y2＝k（x1+x2）﹣2k

此時N（，），又M（0，），則kMN，

∵MN⊥PQ，∴kMN，解得k或k．

∴直線PQ的方程為y（x﹣1），或y（x﹣1）．