Question

設f（x）為定義域為R的函數(shù)，對任意x∈R，都滿足：f（x+1）=f（x-1），f（1-x）=f（1+x），且當x∈[0，1]時，f（x）=3^x-3^-x．
（1）請指出f（x）在區(qū)間[-1，1]上的奇偶性、單調(diào)區(qū)間、最大（小）值和零點，并運用相關定義證明你關于單調(diào)區(qū)間的結(jié)論；
（2）試證明f（x）是周期函數(shù)，并求其在區(qū)間[2k-1，2k]（k∈Z）上的解析式．

Answer 1

分析：（1）f（x+1）=f（x-1），f（1-x）=f（1+x）?f（x-1）=f（1-x），從而可得函數(shù)為偶函數(shù)，且關于x=1對稱，當x∈[0，1]時，f（x）=3^x-3^-x在x∈[0，1]時，單調(diào)遞增，從而可得函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間：[0，1]；單調(diào)遞減區(qū)間：[-1，0]；零點：x=0；單調(diào)區(qū)間的證明的證明可以利用定義證明可先證明在[0，1]上單調(diào)性，要證明f（x）在區(qū)間[-1，0]上是遞減函數(shù)時，
（法一）：利用定義法，任取的x₁，x₂∈[-1，0]，x₁＜x₂，通過判斷判定 f（x₁）-f（x₂）的符號來判定f（x₁）與f（x₂）大小，進而判定函數(shù)的單調(diào)性
（法二）：根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可知，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反，由于f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，故可證函數(shù)在[-1，0]上單調(diào)遞減
（2）由f（x+2）=f[（1+x）+1]=f[（1+x）-1]=f（x）可得2是f（x）周期，當x∈[2k-1，2k]時，2k-x∈[0，1]，代入可得f（x）=f（-x）=f（2k-x）=3^2k-x-3^x-2k

解答：解：（1）偶函數(shù)；．（1分）  最大值為

8

3

、最小值為0；..（1分）
單調(diào)遞增區(qū)間：[0，1]；單調(diào)遞減區(qū)間：[-1，0]；（1分）
零點：x=0．（1分）
單調(diào)區(qū)間證明：
當x∈[0，1]時，f（x）=3^x-3^-x．
設x₁，x₂∈[0，1]，x₁＜x₂，f(x1)-f(x2)=(3x1-3x2)+(

3x1-3x2

3x1•3x2

)=(3x1-3x2)(1+

1

3x1•3x2

)
證明f（x）在區(qū)間[0，1]上是遞增函數(shù)
由于函數(shù)y=3^x是單調(diào)遞增函數(shù)，且3^x＞0恒成立，
所以3x1-3x2＜0，1+

1

3x1•3x2

＞0，∴f（x₁）-f（x₂）＜0
所以，f（x）在區(qū)間[0，1]上是增函數(shù)．（4分）
證明f（x）在區(qū)間[-1，0]上是遞減函數(shù)
【證法一】因為f（x）在區(qū)間[-1，1]上是偶函數(shù)．
對于任取的x₁，x₂∈[-1，0]，x₁＜x₂，有-x₁＞-x₂＞0f（x₁）-f（x₂）=f（-x₁）-f（-x₂）＞0
所以，f（x）在區(qū)間[-1，0]上是減函數(shù)（4分）
【證法二】設x∈[-1，0]，由f（x）在區(qū)間[-1，1]上是偶函數(shù)，得f（x）=f（-x）=3^-x-3^x．
以下用定義證明f（x）在區(qū)間[-1，0]上是遞減函數(shù)..（4分）
（2）設x∈R，f（x+2）=f[（1+x）+1]=f[（1+x）-1]=f（x），
所以，2是f（x）周期．（4分）
當x∈[2k-1，2k]時，2k-x∈[0，1]，
所以f（x）=f（-x）=f（2k-x）=3^2k-x-3^x-2k..（4分）

點評：本題是一道綜合了函數(shù)的對稱性、周期性、奇偶性、單調(diào)性、及函數(shù)解析式的求解等知識的綜合應用的試題，要求考生熟練掌握基礎知識，并能運用知識解決綜合問題的邏輯推理的能力．