【題目】已知為坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別為,,右頂點(diǎn)為,上頂點(diǎn)為,若,,成等比數(shù)列,橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值為.
求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
過(guò)該橢圓的右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦與,求的取值范圍.
【答案】(1)(2)
【解析】
根據(jù),,成等比數(shù)列,橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值為.列出關(guān)于 、 、的方程組,求出 、的值,即可得出橢圓的方程;對(duì)直線(xiàn)和分兩種情況討論:一種是兩條直線(xiàn)與坐標(biāo)軸垂直,可求出兩條弦長(zhǎng)度之和;二是當(dāng)兩條直線(xiàn)斜率都存在時(shí),設(shè)直線(xiàn)的方程為,將直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立,列出韋達(dá)定理,利用弦長(zhǎng)公式可計(jì)算出的長(zhǎng)度的表達(dá)式,然后利用相應(yīng)的代換可求出的長(zhǎng)度表達(dá)式,將兩線(xiàn)段長(zhǎng)度表達(dá)式相加,利用函數(shù)思想可求出兩條弦長(zhǎng)的取值范圍最后將兩種情況的取值范圍進(jìn)行合并即可得出答案.
易知,得,則,
而,又,得,,
因此,橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為;
當(dāng)兩條直線(xiàn)中有一條斜率為0時(shí),另一條直線(xiàn)的斜率不存在,由題意易得;
當(dāng)兩條直線(xiàn)斜率都存在且不為0時(shí),由知,
設(shè)、,直線(xiàn)MN的方程為,則直線(xiàn)PQ的方程為,
將直線(xiàn)方程代入橢圓方程并整理得:,
顯然,,,
,同理得,
所以,,
令,則,,設(shè),
,所以,,所以,,則.
綜合可知,的取值范圍是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間;
(2)如果對(duì)任意,恒成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了調(diào)查微信用戶(hù)每天使用微信的時(shí)間,某經(jīng)銷(xiāo)化妝品的店家在一廣場(chǎng)隨機(jī)采訪(fǎng)男性、女性用戶(hù)各50名,將男性、女性平均每天使用微信的時(shí)間(單位:)分成5組:,,,,分別加以統(tǒng)計(jì),得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)根據(jù)男性的頻率分布直方圖,求的值;
(2)①若每天玩微信超過(guò)的用戶(hù)稱(chēng)為“微信控”,否則稱(chēng)為“非微信控”,根據(jù)男性,女性頻率分布直方圖完成下面列聯(lián)表(不用寫(xiě)計(jì)算過(guò)程)
微信控 | 非微信 | 總計(jì) | |
男性 | |||
女性 | |||
總計(jì) | 100 |
②判斷是否有90%的把握認(rèn)為“微信控”與性別有關(guān)?說(shuō)明你的理由.(下面獨(dú)立性檢驗(yàn)的臨界值表供參考)
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
參考公式:,其中.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正六邊形的中心為,對(duì)、、、、、、這七個(gè)點(diǎn)中的任意兩點(diǎn),以其中一點(diǎn)為起點(diǎn)、另一點(diǎn)為終點(diǎn)作向量.任取其中兩個(gè)向量,以它們的數(shù)量積的絕對(duì)值作為隨機(jī)變量.試求的概率分布列及其數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一士兵要在一個(gè)半徑為的圓形區(qū)域內(nèi)檢查是否埋有地雷,他所用的檢查儀器的有效作用范圍的半徑為.求該士兵從該圓邊界上一點(diǎn)出發(fā),至少需走多少米才能將區(qū)域檢測(cè)完,且回到出發(fā)點(diǎn)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),函數(shù)是區(qū)間上的減函數(shù).
(1)求的最大值;
(2)若在上恒成立,求的取值范圍;
(3)討論關(guān)于的方程的根的個(gè)數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若無(wú)窮數(shù)列滿(mǎn)足:,且對(duì)任意正整數(shù),都為中等于的項(xiàng)的個(gè)數(shù),則稱(chēng)數(shù)列為“數(shù)列”.
(1)請(qǐng)列舉出三個(gè)數(shù)列,每個(gè)數(shù)列只寫(xiě)出其前5項(xiàng);
(2)若數(shù)列為一個(gè)數(shù)列,證明:,都有;
(3)若數(shù)列為一個(gè)數(shù)列,求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程;
(Ⅱ)若對(duì)恒成立,求的取值范圍;
(Ⅲ)證明:若存在零點(diǎn),則在區(qū)間上僅有一個(gè)零點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐中,底面ABCD,,,.
Ⅰ求證:平面PAC;
Ⅱ若側(cè)棱PC上的點(diǎn)F滿(mǎn)足,求三棱錐的體積.
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