【題目】已知函數(shù)

(1)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間;

(2)如果對(duì)任意,恒成立,求的取值范圍.

【答案】(1)見解析;(2)(-,2]

【解析】

(1)將a代入,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),分別解f′(x)〈0和f′(x)〉0,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;

(2)由原不等式移項(xiàng)為右側(cè)為0的形式,構(gòu)造新的函數(shù),通過求導(dǎo)對(duì)a討論,研究其增減性及最值,逐步得解.

(1)當(dāng)a=2時(shí),f(x)=(x2+2x+1)e-x

f′(x)=-(x+1)(x-1)e-x

f′(x)〈0得x<-1或x>1;由f′(x)〉0得-1<x<1;

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,1),

f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-,-1),(1,+

(2)f(x)≤x+1

ax2+ax+1≤(x+1)ex

(x+1)ex-ax2-ax-1≥0

令g(x)=(x+1)ex-ax2-ax-1,則g′(x)=(x+2)ex-ax-a,

令F(x)=g′(x)=(x+2)ex-ax-a,則F′(x)=(x+3)ex-a,

令t(x)=F′(x)=(x+3)ex-a,則t′(x)=(x+4) ex,

當(dāng)x≥0時(shí),t′(x)>0恒成立,從而t(x)在[0,+)上單調(diào)遞增,

此時(shí)t(0)=3-a,

F(0)=2-a,g(0)=0

當(dāng)a≤2時(shí),t(x)≥t(0)=3-a>0,即F′(x)>0所以F(x)在[0,+)上單調(diào)遞增

所以F(x)≥F(0)=2-a≥0,即g′(x)≥0,從而g(x)在[0,+)上單調(diào)遞增

所以g(x)≥g(0)=0

即(x+1)ex-ax2-ax-1≥0恒成立,

所以當(dāng)a≤2時(shí)合題意;

②當(dāng)2<a≤3時(shí),t(x)在[0,+)上單調(diào)遞增,且t(x)≥t(0)=3-a≥0即F′(x)≥0

∴F(x)=g′(x)在[0,+)上單調(diào)遞增,又F(0)=g′(0)=2-a<0,

∴必存在x1(0,+),使得x(0,x1)時(shí),

g(x)在(0,x1)上單調(diào)遞減,

∴g(x)<g(0)=0,

這與g(x)≥0在x≥0時(shí)恒成立矛盾,從而當(dāng)2<a≤3時(shí)不合題意;

③當(dāng)a>3時(shí),t(x)在[0,+)上單調(diào)遞增且t(0)=3-a<0,

必存在x2(0,+),使得x(0,x2)時(shí),t(x)<0,即F′(x)<0,從而F(x)=g′(x)在[0,+)上單調(diào)遞減,

∴F(x)<F(0)=g′(0)=2-a<0,

從而g(x)在(0,x1)上單調(diào)遞減 ,

g(x)<g(0)=0,這與g(x)≥0在x≥0時(shí)恒成立矛盾,從而a>3時(shí)不合題意;

綜上:a的取值范圍是(-,2]

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】若直線表示兩和不同的直線,則的充要條件是(

A.存在直線,使B.存在平面,使

C.存在平面,使,D.存在直線,使與直線所成的角都是

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【題目】近年來,國資委.黨委高度重視扶貧開發(fā)工作,堅(jiān)決貫徹落實(shí)中央扶貧工作重大決策部署,在各個(gè)貧困縣全力推進(jìn)定點(diǎn)扶貧各項(xiàng)工作,取得了積極成效,某貧困縣為了響應(yīng)國家精準(zhǔn)扶貧的號(hào)召,特地承包了一塊土地,已知土地的使用面積以及相應(yīng)的管理時(shí)間的關(guān)系如下表所示:

土地使用面積(單位:畝)

1

2

3

4

5

管理時(shí)間(單位:月)

8

10

13

25

24

并調(diào)查了某村300名村民參與管理的意愿,得到的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示:

愿意參與管理

不愿意參與管理

男性村民

150

50

女性村民

50

1)求出相關(guān)系數(shù)的大小,并判斷管理時(shí)間與土地使用面積是否線性相關(guān)?

2)是否有99.9%的把握認(rèn)為村民的性別與參與管理的意愿具有相關(guān)性?

3)若以該村的村民的性別與參與管理意愿的情況估計(jì)貧困縣的情況,則從該貧困縣中任取3人,記取到不愿意參與管理的男性村民的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望。

參考公式:

其中。臨界值表:

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

參考數(shù)據(jù):

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【題目】在四棱錐中,平面,,,,點(diǎn)在線段上,且,為線段的中點(diǎn).

(1)求證:平面;

(2)若,求三棱錐的體積.

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【題目】已知拋物線 的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,三個(gè)點(diǎn), , 中恰有兩個(gè)點(diǎn)在上.

(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)過的直線交, 兩點(diǎn),點(diǎn)上任意一點(diǎn),證明:直線, 的斜率成等差數(shù)列.

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【題目】如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD是矩形,點(diǎn)E在棱PC異于點(diǎn)P,,平面ABE與棱PD交于點(diǎn)F

求證:;

,求證:平面平面ABCD

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【題目】以下是某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值表.

身高/

60

70

80

90

100

110

體重/

6.13

7.9

9.99

12.15

15.02

17.5

身高/

120

130

140

150

160

170

體重/

20.92

26.86

31.11

38.85

42.25

55.05

1)給出兩個(gè)回歸方程:

,②.通過計(jì)算,得到它們的相關(guān)指數(shù)分別是:,.試問哪個(gè)回歸方程擬合效果更好?

2)若體重超過相同身高男性平均值的1.2倍為偏胖,低于0.8為偏瘦,那么該地區(qū)某中學(xué)一男生身高為,體重為,他的體重是否正常?

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【題目】已知為坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,右頂點(diǎn)為,上頂點(diǎn)為,若,成等比數(shù)列,橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值為

求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

過該橢圓的右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦,求的取值范圍.

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