Question

12．函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠0}，f（x）＞0，滿足f（x•y）=f（x）•f（y），且在[0，+∞）上單調(diào)遞增，若m滿足f（log₃m）+f（log${\;}_{\frac{1}{3}}$m）≤2f（1），求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析 根據(jù)條件先判斷函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：∵f（1）=f（1×1）=f（1）f（1），
∴f（1）=1，
∵f（-1）f（-1）=f（（-1）*（-1））=1，f（-1）＞0，
∴f（-1）=1，
∵f（x）f（$\frac{1}{x}$）=f（1）=1，
∴f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{1}{f（x）}$，
f（$\frac{m}{n}$）=$\frac{f（m）}{f（n）}$，
令y=-1，則f（-x）=f（x）•f（-1）=f（x），f（x）為偶函數(shù)，
f（log₃m）+f（log${\;}_{\frac{1}{3}}$m）=f（log₃m）+f（-log₃m）=2f（log₃m），
由f（log₃m）+f（log${\;}_{\frac{1}{3}}$m）≤2f（1），得2f（log₃m）≤2f（1），
即f（log₃m）≤f（1），
則f（|log₃m|）≤f（1），
∵在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴|log₃m|≤1，
即-1≤log₃m≤1，
解得$\frac{1}{3}$≤m≤3．
∵函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠0}，
∴l(xiāng)og₃m≠0，即m≠1，
綜上$\frac{1}{3}$≤m≤3且m≠1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式的求解，根據(jù)抽象函數(shù)關(guān)系判斷函數(shù)是偶函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用．