【題目】已知奇函數(shù)f(x)=a(a為常數(shù)).
(1)求a的值;
(2)若函數(shù)g(x)=|(2x+1)f(x)|﹣k有2個零點,求實數(shù)k的取值范圍;
(3)若x∈[﹣2,﹣1]時,不等式f(x)恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
【答案】(1) ;(2)k∈(0,1);(3)[4,+∞).
【解析】
(1)由f(x)為R上的奇函數(shù)可得f(0)=0,解方程可得a;
(2)由題意可得方程|2x﹣1|﹣k=0有2個解,即k=|2x﹣1|有2個解,即函數(shù)y=k和y=|2x﹣1|的圖象有2個交點,畫出圖象即可得到所求范圍;
(3)由題意可得m≥2﹣x在x∈[﹣2,﹣1]時恒成立,由g(x)=2﹣x在R上單調(diào)遞減,即可得到所求范圍.
(1)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),
可得f(0)=a﹣1=0,即a=1,
可得f(x)=1,
由f(﹣x)+f(x)0,
即f(x)為R上的奇函數(shù),
故a=1;
(2)函數(shù)g(x)=|(2x+1)f(x)|﹣k有2個零點
方程|2x﹣1|﹣k=0有2個解,
即k=|2x﹣1|有2個解,
即函數(shù)y=k和y=|2x﹣1|的圖象有2個交點,
由圖象得k∈(0,1);
(3)x∈[﹣2,﹣1]時,f(x),即1,
即m≥2﹣x在x∈[﹣2,﹣1]時恒成立,
由g(x)=2﹣x在R上單調(diào)遞減,
x∈[﹣2,﹣1]時,g(x)的最大值為g(﹣2)=4,
則m≥4,即m的取值范圍是[4,+∞).
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【題目】從3名骨科、4名腦外科和5名內(nèi)科醫(yī)生中選派5人組成一個抗震救災醫(yī)療小組,則骨科、腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有1人的選派方法種數(shù)是(用數(shù)字作答).
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【題目】一半徑為的水輪如圖所示,水輪圓心距離水面;已知水輪按逆時針做勻速轉(zhuǎn)動,每轉(zhuǎn)一圈,如果當水輪上點從水中浮現(xiàn)時(圖中點)開始計算時間.
(1)以水輪所在平面與水面的交線為軸,以過點且與水面垂直的直線為軸,建立如圖所示的直角坐標系,將點距離水面的高度表示為時間的函數(shù);
(2)點第一次到達最高點大約要多長時間?
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【題目】設橢圓 =1(a>b>0)的左焦點為F,離心率為 ,過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為 .
(1)求橢圓的方程;
(2)設A,B分別為橢圓的左,右頂點,過點F且斜率為k的直線與橢圓交于C,D兩點.若 =8,求k的值.
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【題目】某公司制定了一個激勵銷售人員的獎勵方案:當銷售利潤不超過10萬元時,按銷售利潤的16%進行獎勵;當銷售利潤超過10萬元時,若超出A萬元,則超出部分按2log5(A+1)進行獎勵.記獎金y(單位:萬元),銷售利潤x(單位:萬元)
(1)寫出該公司激勵銷售人員的獎勵方案的函數(shù)模型;
(2)如果業(yè)務員老張獲得5.6萬元的獎金,那么他的銷售利潤是多少萬元.
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【題目】設函數(shù) (a∈R,e為自然對數(shù)的底數(shù)),若曲線y=sinx上存在點(x0 , y0)使得f(f(y0))=y0 , 則a的取值范圍是( )
A.[1,e]
B.[e﹣1﹣1,1]
C.[1,e+1]
D.[e﹣1﹣1,e+1]
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【題目】已知橢圓C: (a>b>0)的兩個焦點分別為F1(﹣1,0),F(xiàn)2(1,0),且橢圓C經(jīng)過點 .
(1)求橢圓C的離心率:
(2)設過點A(0,2)的直線l與橢圓C交于M,N兩點,點Q是線段MN上的點,且 ,求點Q的軌跡方程.
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【題目】給定常數(shù)c>0,定義函數(shù)f(x)=2|x+c+4|﹣|x+c|.數(shù)列a1 , a2 , a3 , …滿足an+1=f(an),n∈N* .
(1)若a1=﹣c﹣2,求a2及a3;
(2)求證:對任意n∈N* , an+1﹣an≥c;
(3)是否存在a1 , 使得a1 , a2 , …,an , …成等差數(shù)列?若存在,求出所有這樣的a1;若不存在,說明理由.
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