18、有6名同學站成一排,符合下列各題要求的不同排法共有多少種?(要求結果用數(shù)字作答)
(1)甲不站排頭,乙不站排尾;
(2)甲、乙、丙三位同學兩兩不相鄰;
(3)甲、乙兩同學相鄰,丙、丁兩同學相鄰;
(4)甲、乙都不與丙相鄰.
分析:對這個幾個事件不同排法和數(shù)的計算,根據(jù)分步原理與分類原理直接計算即可
(1)甲不站排頭,乙不站排尾,可按甲在尾與不在尾分為兩類;
(2)甲、乙、丙三位同學兩兩不相鄰,可用插空法進行計數(shù);
(3)甲、乙兩同學相鄰,丙、丁兩同學相鄰,可用捆綁法進行計數(shù);
(4)甲、乙都不與丙相鄰,可用排除法計數(shù),計算出甲乙兩人至少有一人與丙相鄰的種數(shù),從總數(shù)中減去.
解答:解:(1)甲不站排頭,乙不站排尾排法計數(shù)可分為兩類,第一類甲在末尾,排法和數(shù)有A55,第二類甲不在末尾,先排甲,有A41種方法,再排乙有A41種方法,剩下的四人有A44種排法,故有A41×A41×A44種方法,由此,總排法有A55+A41×A41×A44=504
(2)甲、乙、丙三位同學兩兩不相鄰排法可分為兩步解決,先把其余三人排列有A33種排法,第二步把甲、乙、丙三位同學插入由那三個隔開的四個空中,有A43種排法,故所有的排法種數(shù)有A33×A43=144
(3)甲、乙兩同學相鄰,丙、丁兩同學相鄰排法,第一步排甲乙,有A22排法,第二步排乙丙,有A22種排法,第三步把甲乙看作一個元素,乙丙看作一個元素與其余兩人組成四個元素進行全排列有A44種排法,故總排法種數(shù)有A22×A22×A44=96
(4)甲、乙都不與丙相鄰排法種數(shù)可以從全排列種數(shù)中排除甲乙兩人至少有一人與丙相鄰的種數(shù),故有A66-2A22×A55+A22A44=288
點評:本題考查排列、組合及簡單計數(shù)問題,本題在計數(shù)時根據(jù)具體情況選用了插空法、捆綁法等方法,做題時要注意體會這些方法的原理及其實際意義.在最后一小問中本題計數(shù)法把三人相鄰的丙在中間的情況減了兩次,故要加上,此處容易遺漏出錯,做題時切記.
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