Question

15．①已知拋物線y²=2x上的點(diǎn)與A（0，6）距離最近的點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，2）；
②已知不等式3ax-2lnx≥0對(duì)任意x＞0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[$\frac{2}{3e}$，+∞）．

Answer 1

分析 ①設(shè)拋物線上一點(diǎn)P（$\frac{1}{2}$y²，y），運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，再求導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，即可得到最小值點(diǎn)；
②運(yùn)用參數(shù)分離，可得$\frac{3}{2}$a≥（$\frac{lnx}{x}$）_max，令y=$\frac{lnx}{x}$，求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和最大值，即可得到a的范圍．

解答 解：①設(shè)拋物線上一點(diǎn)P（$\frac{1}{2}$y²，y），
令t=|PA|²=$\frac{1}{4}$y⁴+（y-6）²，
由于t′=y³+2y-12，
方程y³+2y-12=0的解為y=2，
當(dāng)y＞2時(shí)，t′＞0，當(dāng)y＜2時(shí)，t′＜0，
即有y=2取得極小值，且為最小值．
則有所求點(diǎn)P（2，2）；
②不等式3ax-2lnx≥0對(duì)任意x＞0恒成立，
即為$\frac{3}{2}$a≥（$\frac{lnx}{x}$）_max，
令y=$\frac{lnx}{x}$，y′=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
當(dāng)x＞e時(shí)，y′＜0，當(dāng)0＜x＜e時(shí)，y′＞0，
即有x=e處函數(shù)y取得極大值，且為最大值$\frac{1}{e}$，
即有$\frac{3}{2}$a≥$\frac{1}{e}$，解得a≥$\frac{2}{3e}$．
故答案為：（2，2），[$\frac{2}{3e}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求最值，運(yùn)用參數(shù)分離和不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，屬于中檔題．