Question

已知函數(shù)f(x)＝(ax＋1)e^x.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)a>0時(shí)，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2,0]上的最小值．

Answer 1

（1）見解析
（2）當(dāng)a>1時(shí)，f(x)在區(qū)間[－2,0]上的最小值為－a·；
當(dāng)0<a≤1時(shí)，f(x)在區(qū)間[－2,0]上的最小值為.

解：依題意，函數(shù)的定義域?yàn)镽，
f′(x)＝(ax＋1)′e^x＋(ax＋1)(e^x)′＝e^x(ax＋a＋1)．
(1)①當(dāng)a＝0時(shí)，f′(x)＝e^x>0，
則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，＋∞)；
②當(dāng)a>0時(shí)，由f′(x)>0，解得x>－，
由f′(x)<0，解得x<－，
則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－，＋∞)，
f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－)；
③當(dāng)a<0時(shí)，由f′(x)>0，解得x<－，
由f′(x)<0解得，x>－，
則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－)，
f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－，＋∞)．
(2)①當(dāng)時(shí)，)上是減函數(shù)，
在(－，0)上是增函數(shù)，
則函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2,0]上的最小值為f(－)＝－a·；
②當(dāng)時(shí)，即當(dāng)0<a≤1時(shí)，f(x)在[－2,0]上是增函數(shù)，則函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2,0]上的最小值為f(－2)＝.
綜上，當(dāng)a>1時(shí)，f(x)在區(qū)間[－2,0]上的最小值為－a·；
當(dāng)0<a≤1時(shí)，f(x)在區(qū)間[－2,0]上的最小值為.