已知雙曲線C的方程為，離心率，頂點(diǎn)到漸近線的距離為。

（I）求雙曲線C的方程；                                

(II)如圖，P是雙曲線C上一點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)在雙曲線C的兩條漸近線上，且分別位于第一、二象限，若，求面積的取值范圍。

(Ⅰ) （Ⅱ）△AOB面積的取值范圍是


解析:

（Ⅰ）由題意知，雙曲線C的頂點(diǎn)到漸近線

∴

由 得 ∴雙曲線C的方程為

（Ⅱ）由（Ⅰ）知雙曲線C的兩條漸近線方程為

設(shè)

由得P點(diǎn)的坐標(biāo)為

將P點(diǎn)坐標(biāo)代入化簡(jiǎn)得

設(shè)∠AOB

又

記

由

當(dāng)時(shí)，△AOB的面積取得最小值2，當(dāng)時(shí)，△AOB的面積取得最大值∴△AOB面積的取值范圍是

解答二（Ⅰ）同解答一

      （Ⅱ）設(shè)直線AB的方程為由題意知

       由{ 得A點(diǎn)的坐標(biāo)為

       由{ 得B點(diǎn)的坐標(biāo)為

       由得P點(diǎn)的坐標(biāo)為 

       將P點(diǎn)坐標(biāo)代入

設(shè)Q為直線AB與y軸的交點(diǎn)，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，m）.

     =以下同解答一.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知雙曲線C的方程為：
x2
9
-
y2
16
=1
（1）求雙曲線C的離心率；
（2）求與雙曲線C有公共的漸近線，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-3，2
3
）的雙曲線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知雙曲線C的方程為
y2
a2
-
x2
b2
=1（a＞0，b＞0），離心率e=
5
2
，頂點(diǎn)到漸近線的距離為
2
5
5
．求雙曲線C的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•嘉定區(qū)一模）已知雙曲線C的方程為x2-
y2
4
=1，點(diǎn)A（m，2m）和點(diǎn)B（n，-2n）（其中m和n均為正數(shù)）是雙曲線C的兩條漸近線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，雙曲線C上的點(diǎn)P滿足
AP
=λ•
PB
（其中λ∈[
1
2
，3]）．
（1）用λ的解析式表示mn；
（2）求△AOB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知雙曲線C的方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0），過(guò)右焦點(diǎn)F作雙曲線在一，三象限的漸近線的垂線l，垂足為P，l與雙曲線C的左右的交點(diǎn)分別為A，B
（1）求證：點(diǎn)P在直線x=
a2
c
上（C為半焦距）．
（2）求雙曲線C的離心率e的取值范圍．
（3）若|AP|=3|PB|，求離心率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知雙曲線C的方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)，它的左、右焦點(diǎn)分別F1，F(xiàn)2，左右頂點(diǎn)為A1，A2，過(guò)焦點(diǎn)F2先做其漸近線的垂線，垂足為p，再作與x軸垂直的直線與曲線C交于點(diǎn)Q，R，若PF2，A1A2，QF1依次成等差數(shù)列，則離心率e=（　�。�

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