Question

已知f（x）=|x²-4x+3|．
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）求集合M={m|方程f（x）=m有四個不等的實根}．

Answer 1

分析：（1）利用絕對值的意義，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)．利用分段函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）利用函數(shù)的圖象確定方程根的取值情況，然后確定方程有4個根的等價條件．

解答：解：（1）若x²-4x+3≥0即x≥3或x≤1時，f（x）=|x²-4x+3|=x²-4x+3=（x-2）²-1，
此時當x≥3時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
當x≤1時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
若x²-4x+3＜0即1＜x＜3時，f（x）=|x²-4x+3|=-（x²-4x+3）=-（x-2）²+1，
此時當1＜x≤2時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
當2≤x＜3時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：[3，+∞）和（1，2]．
函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：（-∞，1]和[2，3）．
（2）由圖象可知當m＞1時，方程f（x）=m有2個根，
當m=1時，方程f（x）=m有3個根，
當m=0時，方程f（x）=m有2個根，
當0＜m＜1時，方程f（x）=m有4個根，
當m＜0時，方程f（x）=m沒有根．
故M={m|方程f（x）=m有四個不等的實根}={m|0＜m＜1}．

點評：本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用絕對值的意義將絕對值轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．