Question

19．已知橢圓的焦距為6，橢圓上的點到兩個焦點的距離之和為10，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 由題意當(dāng)焦點在x軸時，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），已知2c=6，2a=10，可得c，a，b=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$，即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，同理可得：當(dāng)焦點在y軸時的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答 解：由題意當(dāng)焦點在x軸時，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
∵2c=6，2a=10，可得c=3，a=5，b=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=4，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$．
同理可得：當(dāng)焦點在y軸時，可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{y}^{2}}{25}+\frac{{x}^{2}}{16}=1$．
綜上可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$，$\frac{{y}^{2}}{25}+\frac{{x}^{2}}{16}=1$．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．