Question

設(shè)f（x）=lg（x+

x2+1

）+sinx，當(dāng)0≤θ≤

π

2

時(shí)，f（msinθ）+f（1-m）＞0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　　）

• A、（-∞，1）
• B、（-∞，0）
• C、（-∞，

  1

  2

  ）
• D、（0，1）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)條件判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系將不等式恒成立進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即可得到結(jié)論．

解答：解：∵f（x）=lg（x+

x2+1

）+sinx，
∴f（-x）=lg（-x+

x2+1

）-sinx═lg（

1

x+ x2+1

）-sinx=-（lg（x+

x2+1

）+sinx）=-f（x），
即f（x）是奇函數(shù)，且為增函數(shù)，
則不等式f（msinθ）+f（1-m）＞0恒成立，等價(jià)為f（msinθ）＞-f（1-m）=f（m-1）恒成立，
即f（msinθ）＞f（m-1）
即msinθ＞m-1
即m＜

1

1-sinθ

在0≤θ≤

π

2

時(shí)恒成立
∵0≤θ≤

π

2

時(shí)，1-sinθ的最大值為1，故

1

1-sinθ

的最小值為1
故m＜1
即實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，1），
故選：A

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)奇偶性與函數(shù)的單調(diào)性及恒成立問題，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度為中檔．